[論文レビュー] A combinatorial theory of random matrices III: random walks on $\mathfrak{S}(N)$, ramified coverings and the $\mathfrak{S}(\infty)$ Yang-Mills measure

Franck Gabriel|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$N \to \infty$ のとき、円板上のランダムな一様な分岐被覆のモノドロミー場が確率的に収束し、その極限として確率的でない連続的場（$\sigma(\infty)$-Yang-Mills マスター場）の存在を確立する。$\mathfrak{S}(N)$-Yang-Mills 測度と転置によるランダムウォークとの間の同値性を用いて、非可換および$\mathcal{P}$-分布における漸近的収束を導出し、極限過程が明示的に計算可能な対数積率変換を持つ非自由乗法的$\mathcal{P}$-Lévy過程として特定される。

ABSTRACT

The aim of this article is to study some asymptotics of a natural model of random ramified coverings on the disk of degree $N$. We prove that the monodromy field, called also the holonomy field, converges in probability to a non-random field as $N$ goes to infinity. In order to do so, we use the fact that the monodromy field of random uniform labelled simple ramified coverings on the disk of degree $N$ has the same law as the $\mathfrak{S}(N)$-Yang-Mills measure associated with the random walk by transposition on $\mathfrak{S}(N)$. This allows us to restrict our study to random walks on $\mathfrak{S}(N)$: we prove theorems about asymptotics of random walks on $\mathfrak{S}(N)$ in a new framework based on the geometric study of partitions and the Schur-Weyl-Jones's dualities. In particular, given a sequence of conjugacy classes $(λ\_N \subset \mathfrak{S}(N))\_{N \in \mathbb{N}}$, we define a notion of convergence for $(λ\_N)\_{N \in \mathbb{N}}$ which implies the convergence in non-commutative distribution and in $\mathcal{P}$-expectation of the $λ\_N$-random walk to a $\mathcal{P}$-free multiplicative L{é}vy process. This limiting process is shown not to be a free multiplicative L{é}vy process and we compute its log-cumulant functional. We give also a criterion on $(λ\_N)\_{N \in \mathbb{N}}$ in order to know if the limit is random or not.

研究の動機と目的

• ランダス上のランダム分岐被覆のモノドロミー場が$N \to \infty$ のとき確率的に非確率的連続場に収束することを確立すること。
• $\mathfrak{S}(N)$-Yang-Mills 測度と転置を用いた$\mathfrak{S}(N)$上でのランダムウォークとの関係を結びつけることで、組合せ論的および表現論的道具の使用を可能にすること。
• $\mathfrak{S}(N)$内の共轭類の列$(\lambda_N)_{N \in \mathbb{N}}$に対する収束の概念を定義し、関連するランダムウォークの非可換および$\mathcal{P}$-分布における収束を保証すること。
• 極限過程が非自由乗法的$\mathcal{P}$-Lévy過程であることを特徴づけ、その対数積率変換を明示的に計算すること。

提案手法

• $\mathfrak{S}(N)$-Yang-Mills 測度と、共轭類$\lambda_N$から一様に選択された生成元によるランダムウォークの分布との同値性を活用し、群論的および確率論的手法の適用を可能にする。
• 整数分割の幾何的解析とSchur-Weyl-Jones双対性を用いて、$\mathfrak{S}(N)$上でのランダムウォークの漸近的性質を研究する。
• 関連するランダムウォークの非可換および$\mathcal{P}$-分布における収束を保証する、共轭類の列$(\lambda_N)$のための新しい収束基準を導入する。
• 埋め込まれたグラフにおける面部ラッソ上のホロノミー変数の$\mathcal{P}$-自由性を用いて、乗法的自由確率論的手法によりマスター場を計算する。
• $\mathcal{P}$-分布フレームワークと[15]の結果を用い、$N \to \infty$ の極限における行列積の正規化トレースの極限を計算する。特に、$\mathbb{E}m_{(1,2)}[ML, ML^{-1}]$の式を応用する。
• 独立な$S_t^N$-分布をもつ変数に対する$\frac{1}{N}\mathbb{E}[\mathrm{Tr}(C_N B_N A_N^{-1} B_N A_N)]$の漸近的挙動を分析することで、極限過程の対数積率変換を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共轭類の列$(\lambda_N)_{N \in \mathbb{N}}$が$\mathfrak{S}(N)$に属するとき、$N \to \infty$ のとき関連する$\lambda_N$-ランダムウォークが非可換分布において収束するための条件は何か？
• RQ2 $\mathfrak{S}(\infty)$-Yang-Mills 測度におけるモノドロミー場の極限過程の性質は何か？これは自由乗法的Lévy過程であるか？
• RQ3 面部ラッソと漸近的$\mathcal{P}$-自由性を用いて、平面的グラフに埋め込まれたループに対して$\mathfrak{S}(\infty)$-マスター場を明示的に計算できるか？
• RQ4 $\mathfrak{S}(N)$-Yang-Mills 測度から生じる極限乗法的$\mathcal{P}$-Lévy過程の対数積率変換の明示的形は何か？
• RQ5 極限場が確率的か決定的かを決定づける基準は何か？

主な発見

• ランダムな一様分岐被覆のモノドロミー場は$N \to \infty$ のとき確率的に非確率的連続場に収束し、$\mathfrak{S}(\infty)$-マスター場の存在が確立される。
• $\mathfrak{S}(N)$-Yang-Mills 測度は、$\mathfrak{S}(N)$上での$\lambda_N$-ランダムウォークの分布と同値であり、漸近的性質の解析に組合せ論的道具を適用可能である。
• 転置の場合（$\lambda_N = \text{transpositions}$）には、対数積率変換が明示的に計算可能な非自由乗法的$\mathcal{P}$-Lévy過程が極限過程として得られる。
• ループ$l = aba^{-1}bc$に対する極限場$\phi(l)$は、$\phi(l) = e^{-u}\left[e^{-2t} + e^{-t}e^{-s} - e^{-2t}e^{-s} + e^{-2t}e^{-2s} - e^{-2t}e^{-2s}t\right]$で与えられ、$s,t,u$は面部ラッソに関連する時間パラメータである。
• 対数積率展開における非ゼロの交差項、特に$-e^{-2t}e^{-2s}t$項が、極限過程が自由乗法的Lévy過程でないことを示している。
• 正規化トレース$\frac{1}{N}\mathbb{E}[\mathrm{Tr}(C_N B_N A_N^{-1} B_N A_N)]$が上記の式に漸近的に収束することは、漸近的$\mathcal{P}$-自由性と[15]の補題5.1の適用により確立される。