[論文レビュー] A Comment on the Tsallis Maximum Entropy Principle

Brian R. La Cour, William C. Schieve|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2000

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、Tsallisの最大エントロピー原理の整合性に疑問を呈する。それは、同じqモーメント制約下で得られる一般化されたカノニカル分布が、一般に、大数の法則が予測する漸近的経験的頻度と一致しないことを示している。大偏差理論と数値例を用いて、著者らは、q=1、m=2、またはu=u*の特別な場合を除き、関数的形の不一致により両分布が乖離することを示している。

ABSTRACT

Tsallis has suggested a nonextensive generalization of the Boltzmann-Gibbs entropy, the maximization of which gives a generalized canonical distribution under special constraints. In this brief report we show that the generalized canonical distribution so obtained may differ from that predicted by the law of large numbers when empirical samples are held to the same constraint. This conclusion is based on a result regarding the large deviation property of conditional measures and is confirmed by numerical evidence.

研究の動機と目的

• Tsallisの非拡張的最大エントロピー原理がqモーメント制約下での経験的頻度収束と整合するかどうかを評価すること。
• Tsallisエントロピーを最大化して得られる一般化カノニカル分布が、大数の法則が予測する漸近的経験的分布と一致するかどうかを調査すること。
• 大偏差理論を理論的枠組みとして用い、両分布が一致または不一致する条件を同定すること。
• m ≥ 3 かつ q ≠ 1 の場合に、Tsallis予測分布と経験的観測分布の間の乖離を、数値的および解析的証拠で示すこと。

提案手法

• 著者らは、特にサンフランソワの定理を用いて、制約下での経験的頻度収束のレート関数を導出する大偏差理論を適用する。
• 彼らは、Tsallisエントロピー S_q を extremizing する際に得られる分布 ∑(ε_i - u)p_i^q = 0 を用いたqモーメント制約下での分布と、同じ制約下でレート関数を最小化する分布を比較する。
• この手法には、Tsallis分布の明示的形 p_i ∝ [1 - (1 - q)α(ε_i - u)]^{1/(1 - q)} を解き、ボルツマンカノニカル分布 P_i ∝ exp[-β(ε_i - u)]p_i^{q-1} と比較することを含む。
• m=3 かつ q=1/2 の場合、両分布を満たす共通のβが存在するかをテストするため、関数 d_i(β) のプロットによる数値解析を実施する。
• 一致のための必要条件は、Tsallis解をボルツマン形式に代入することで得られ、すべての i,j 組に対して成立しなければならない関数方程式が導かれる。
• 解析により、導出された方程式 (16) の右辺が i,j の入れ替えに対して不変であるためには、q=1、m=2、またはすべての p_i が等しい場合に限ることが判明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じqモーメント制約が経験的標本に適用された場合、Tsallisの最大エントロピー分布は漸近的経験的頻度分布と一致するか？
• RQ2 もし存在するならば、Tsallis予測分布と経験的観測分布が一致する条件は何か？
• RQ3 Tsallisエントロピー最大化と経験的頻度収束を支配する大偏差原理との間に根本的不整合は存在するか？
• RQ4 m ≥ 3 かつ q ≠ 1 の場合に、Tsallis分布がqモーメント制約下でカノニカルボルツマン形式を満たす共通のβを一つに見つけられるか？

主な発見

• m ≥ 3 かつ q ≠ 1 の場合、Tsallisの最大エントロピー分布と大数の法則が予測する経験的頻度分布は一般に一致しない。
• m=3 かつ q=1/2 の場合、数値的証拠により、関数 d_i(β) が任意のβで同時に0にならず、共通解がないことが示され、したがって両分布は異なることが判明した。
• 両分布が一致するのは、q=1、m=2、またはu=u*（つまりα=0）の場合に限る。これは、導出された一致のための必要条件が一貫して成立する唯一のケースである。
• 一致のための必要条件は、方程式 (16) の右辺がiとjに依存しないことであるが、これはq=1、m=2、またはすべてのp_iが等しい場合にのみ成立する。
• Tsallis分布は、同じqモーメント制約下での最も確率的な経験的分布ではない。これは、この文脈における最大エントロピー原理の基本的仮定に反する。
• ボルツマン＝ギブスエントロピーは、大偏差理論においてレート関数として特異な役割を果たしており、これによりTsallisのエントロピーのような代替エントロピーは、最も可能性の高い経験的結果を一貫して予測できない可能性がある。