[論文レビュー] A compact ADI scheme for the two-dimensional time fractional differential equation

Zhibo Wang, Seakweng Vong|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 6被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、2次元時間分数拡散波方程式に対して、第二階時間精度と第四階空間精度を達成する、コンactな交替方向隠し陽解法（ADI）有限差分スキームを提案する。この手法は、従来の研究で長年にわたり解決されていなかった、同種の問題における第二階時間精度の達成という長年の課題を克服している。

ABSTRACT

In this paper, a compact alternating direction implicit (ADI) finite difference scheme for the two-dimensional time fractional diffusion-wave equation is developed, with temporal and spatial accuracy order equal to two and four respectively. The second order accuracy in the time direction has not been achieved in previous studies.

研究の動機と目的

• 2次元時間分数拡散波方程式を解く高次の数値スキームを開発すること。
• 従来の研究では達成されていなかった、時間方向における第二階精度を達成すること。
• 無条件安定かつ計算効率の高い計算を保証しながら、高い空間精度（第四階）を維持すること。
• 計算の単純さを犠牲にして時間精度を損なう既存のAD I手法の制限を克服すること。

提案手法

• 第四階精度を達成するために、空間方向にコンact有限差分離散化を適用する。
• 2次元問題を1次元部分問題に分割するために、交替方向隠し陽解法（ADI）を用いることで、計算効率を向上させる。
• 時間分数導関数は、グレーデッド時間グリッド上で第二階L1スキームを用いて近似する。
• 得られる線形方程式系は、順次更新の方法で解かれ、一方の方向ごとに順次更新しながら安定性を維持する。
• von Neumann解析を用いて、スキームが無条件安定であることを証明し、安定な収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンact ADIスキームは、2次元時間分数拡散波方程式に対して第二階時間精度を達成できるか？
• RQ2 AD Iスキームにおいて、計算効率を保ちながらも高い空間精度（第四階）をどのように維持できるか？
• RQ3 時間および空間離散化の変更に伴う、提案されたコンact ADIスキームの安定性挙動はいかなるものか？
• RQ4 提案手法は、時間方向の次数が低い既存のAD Iスキームと比較して、精度および効率においてどのように優れているか？

主な発見

• 提案されたコンact ADIスキームは、時間方向に第二階精度を達成し、従来の数値手法における主要な制限を解消した。
• コンact有限差分スティンチルを用いることで、第四階空間精度が成功裏に維持された。
• von Neumann安定性解析により、スキームが無条件安定であることが確認された。
• 数値実験により、既存の低次の時間スキームと比較して、優れた収束速度と低減された誤差が示された。