[論文レビュー] A Compact Fermion to Qubit Mapping Part 2: Alternative Lattice Geometries

Charles Derby, Joel Klassen|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2021

Quantum and electron transport phenomena参考文献 20被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、最大次数4の正則平面タイル張りと3次元立方格子を含む、代替的な格子幾何におけるコン pact なフェルミオンから量子ビットへの写像を拡張する。群論的枠組みを導入して符号化を分析し、ペアティ重量 ≤3（3次元では ≤4）のエッジ演算子と、1.67未満（3次元では2.5未満）の量子ビット/モード比を達成し、局所性とリソース効率の点で、Verstraete-Cirac よりも優れた結果を得た。

ABSTRACT

In recent work [arXiv:2003.06939v2] a novel fermion to qubit mapping -- called the compact encoding -- was introduced which outperforms all previous local mappings in both the qubit to mode ratio, and the locality of mapped operators. There the encoding was demonstrated for square and hexagonal lattices. Here we present an extension of that work by illustrating how to apply the compact encoding to other regular lattices. We give constructions for variants of the compact encoding on all regular tilings with maximum degree 4. These constructions yield edge operators with Pauli weight at most 3 and use fewer than 1.67 qubits per fermionic mode. Additionally we demonstrate how the compact encoding may be applied to a cubic lattice, yielding edge operators with Pauli weight no greater than 4 and using approximately 2.5 qubits per mode. In order to properly analyse the compact encoding on these lattices a more general group theoretic framework is required, which we elaborate upon in this work. We expect this framework to find use in the design of fermion to qubit mappings more generally.

研究の動機と目的

• 正方形格子やヘキサゴナル格子を超えて、他の正則格子幾何にまでコン pact なフェルミオンから量子ビットへの写像を一般化すること。
• 平面格子において、ペアティ重量 ≤3 のエッジ演算子と、1.67未満の最小量子ビット/モード比を達成すること。
• 3次元立方格子への写像を拡張し、ペアティ重量 ≤4 と量子ビット/モード比 <2.5 を達成すること。
• 局所的フェルミオン符号化とそのコード空間構造を分析するための一般的な群論的枠組みを開発すること。
• コード空間とフェルミオン空間の不一致に起因する余計なメジャナナ粒子種の出現を特定・解消すること。

提案手法

• 最大頂点次数4の正則平面タイル張りすべてに、コン pact 符号化フレームワークを適用し、エッジの向きと補助量子ビットの割り当てを用いてペアティ重量を最小化する。
• 安定化子符号と偶数フェルミオン代数に基づく群論的形式的記述を導入し、写像の構造とコード空間を特徴付ける。
• 特定の位相的制約を持つ平面グラフ上でのコン pact 符号化の制限された族を定義し、低重量演算子と管理可能なコード空間不一致を保証する。
• 安定化子生成子を用いてフェルミオンモードを量子ビットに符号化し、論理演算子をメジャナナフェルミオンと補助量子ビットから導出する。
• コード空間を計算して、コード空間のサイズとフェルミオンヒルベルト空間との乖離度∆を評価し、余計なメジャナナ粒子種を特定する。
• ∆ > 0 の場合に、余計なメジャナナ粒子を除去する追加の安定化子を提案し、フェルミオン統計と局所性を保ったままにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コン pact なフェルミオンから量子ビットへの写像を、正方形やヘキサゴナル幾何にとどまらず、他の正則格子幾何にどのように一般化できるか？
• RQ2 代替的な格子幾何における写像されたエッジ演算子の最大ペアティ重量は何か？また、系のサイズに伴いどのように変化するか？
• RQ3 これらの新しい符号化における量子ビット/モード比は何か？また、Verstraete-Cirac よりもどのように異なるか？
• RQ4 コード空間の不一致度（∆）は、符号化された系の論理的構造にどのように影響を及ぼし、余計なメジャナナ粒子種の原因は何か？
• RQ5 このようなフェルミオン符号化を体系的に分析・最適化できる一般的な群論的枠組みを構築できるか？

主な発見

• すべての最大次数4の正則平面タイル張りにおいて、コン pact 符号化はエッジ演算子のペアティ重量 ≤3 を達成し、量子ビット/モード比は <1.25 から <1.67 の範囲に収まる。
• 3次元立方格子では、写像によりエッジ演算子のペアティ重量 ≤4 と、量子ビット/モード比約2.5を達成し、Verstraete-Cirac（比3、重量4）を上回る性能を示した。
• コード空間がフェルミオン空間よりも大きい場合（∆ > 0）、最大8つの相互に反可換なメジャナナ粒子が出現し、補助量子ビット上の論理操作に対応する。
• 余計なメジャナナ粒子種の出現は、追加の安定化子を追加することで除去可能であり、論理演算子とフェルミオンモードの1対1対応を回復できる。
• 群論的枠組みにより、コード空間構造と演算子の局所性の体系的分析が可能となり、将来的な符号化設計の基盤を提供する。
• 符号化構造は3次元トーリック符号に類似しているが、補助量子ビットの配置が疎であり、安定化子の重みが4および8であるため、新たな本質的コード構造を示唆している。