[論文レビュー] A compact high-order gas-kinetic scheme on unstructured mesh for acoustic and shock wave computations

Fengxiang Zhao, Xing Ji+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 62被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非構造三角メッシュ上に、高精度かつ高次（4次〜6次）のコン pact な気体動力学的スキームを提案し、衝撃波や音響波を含む圧縮性流れの正確で安定したシミュレーションを実現する。このスキームは、時間に正確な気体分布関数を用いて、セル界面におけるフラックスと流れの変数を同時に提供し、2段階スキームを用いることで高次再構成と4次時間精度を達成する。これにより、制限子やトラブルセル検出の必要なしに、優れた分解能と安定性を実現する。

ABSTRACT

In this paper an even higher-order compact GKS up to sixth order of accuracy will be constructed for the shock and acoustic wave computation on unstructured mesh. The compactness is defined by the physical domain of dependence for an unstructured triangular cell, which may involve the closest neighbors of neighboring cells. The compactness and high-order accuracy of the scheme are coming from the consistency between the high-order initial reconstruction and the high-order gas evolution model under GKS framework. The high-order evolution solution at a cell interface provides not only a time-accurate flux function, but also the time-evolving flow variables. Therefore, the cell-averaged flow variables and their gradients can be explicitly updated at the next time level from the moments of the same time-dependent gas distribution function. Based on the cell averages and cell-averaged derivatives, both linear and nonlinear high-order reconstruction can be obtained for macroscopic flow variables in the evaluation of local equilibrium and non-equilibrium states. The current nonlinear reconstruction is a combination of WENO and ENO methodology. The initial piecewise discontinuous reconstruction is used for the determination non-equilibrium state and an evolved smooth reconstruction for the equilibrium state. The evolution model in gas-kinetic scheme is based on a relaxation process from non-equilibrium to equilibrium state. The accuracy, efficiency, and robustness of the scheme have been validated. The main conclusion of the paper is that beyond the first-order Riemann solver, the use of high-order gas evolution model seems necessary in the development of high-order schemes.

研究の動機と目的

• 滑らかな流れと不連続な流れの両方を高精度に解像できる、非構造メッシュ上に高次コン pact な気体動力学的スキームを開発すること。
• 従来の高次スキームが示す、コンパクト性、精度、衝撃波捕捉の安定性のバランスの限界を克服すること。
• 高次シミュレーションにおいて、トラブルセル検出や人工的制限手続きの必要を排除すること。
• 2段階スキームを用いて4次時間精度を達成し、従来のルンゲ＝クッタ法に比べて計算効率を向上させること。
• 低速粘性流れから高マッハ数の衝撃波相互作用に至る広範な流れのシナリオにおいて、スキームの妥当性を検証すること。

提案手法

• セル界面における高次気体発展モデルを用いて、時間に正確なフラックスと変化する流れの変数を提供し、セル平均の保存変数とその勾配を直接更新可能にする。
• 物理的依存領域に基づくコンパクトなスティンプを定義し、隣接セルのみを含むことにより、高い並列効率と低メモリ使用量を実現する。
• セル平均値と勾配値から高次線形および非線形再構成を導出する。WENO と ENO の手法を統合し、不連続領域におけるロバスト性を向上させる。
• 非平衡状態は不連続再構成で捉え、平衡状態は滑らかで再構成する。これらは、exp(−Δt/τ) でモデル化された緩和プロセスにより統一される。
• 時間に正確な気体分布関数により、非圧縮性と粘性フラックスが内蔵的に結合され、フラックス分割の必要がなくなる。
• 2段階の4次時間離散化を適用し、従来のルンゲ＝クッタ法に比べて再構成コストを低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非構造メッシュ上に高次コン pact な気体動力学的スキームは、滑らかな音響波と強い衝撃波の両方に対して一様な精度とロバスト性を達成できるか？
• RQ2 大きなスティンプや人工的制限に依存せずに、高次精度とコンパクト性を同時に達成できるか？
• RQ3 気体動力学的フレームワークは、1つの発展モデルによって線形再構成と非線形再構成をどの程度統合できるか？
• RQ4 2段階時間積分スキームは、従来のルンゲ＝クッタ法に比べて、高次スキームにおいて計算コストを低減しつつ4次精度を達成できるか？
• RQ5 トラブルセルの検出や追加の制限子を適用せずに、安定性と精度を維持できるか？

主な発見

• コンパクトな高次 GKS は、非構造三角メッシュ上において、最小限のスティンプで4次〜6次精度を達成し、非コンパクトスキームに比べて顕著に計算スティンプを削減する。
• スプライアスな振動や追加の制限手続きなしに、音響波と衝撃波の両方を正しく捉えることができ、多様な流れ状態においてロバストであることを示す。
• 時間に正確な気体分布関数により、粘性項と非圧縮項を分離せずにナビエ＝ストークスのフラックスを直接計算可能となり、非構造メッシュ上での実装が簡素化される。
• 2段階の4次時間積分により、従来のルンゲ＝クッタ法に比べて再構成演算を2回削減し、精度を損なわず計算効率を向上させる。
• 時間ステップサイズが2次衝撃波捕捉スキームと同等の大きさを維持でき、高マッハ数流れのシミュレーションを効率的に行える。
• 衝撃波と渦の相互作用に関する数値結果は、参照解と非常に良好に一致しており、構造メッシュ上での高次 WNEO スキームに比べてメッシュサイズが10〜20倍粗くても良好な一致を示す。