[論文レビュー] A compact higher-order finite-difference scheme for the wave equation can be strongly non-dissipative on non-uniform meshes

Alexander Zlotnik, Raimondas Čiegis|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、1次元波動方程式に対するコンpactな高次精度有限差分スキームが、関連する固有値問題に複素固有値が出現する非一様メッシュ上では、強力に非散乱的かつ指数的不安定になることが示されている。不安定性は、解のノルムが時間とともに指数関数的に増大することに起因し、一様メッシュ上では高次精度を示すものの、実用的でなくなる。

ABSTRACT

We study necessary conditions for stability of a Numerov-type compact higher-order finite-difference scheme for the 1D homogeneous wave equation in the case of non-uniform spatial meshes. We first show that the uniform in time stability cannot be valid in any spatial norm provided that the complex eigenvalues appear in the associated mesh eigenvalue problem. Moreover, we prove that then the solution norm grows exponentially in time making the scheme strongly non-dissipative and therefore impractical. Numerical results confirm this conclusion. In addition, for some sequences of refining spatial meshes, an excessively strong condition between steps in time and space is necessary (even for the non-uniform in time stability) which is familiar for explicit schemes in the parabolic case.

研究の動機と目的

• 非一様空間メッシュ上における1次元波動方程式のNumerov型コンパクト高次精度有限差分スキームの安定性を分析すること。
• 特に複素固有値の出現に注目し、スキームが安定または不安定になる条件を同定すること。
• 複素固有値が出現する場合、解のノルムが指数関数的に増大するため、時間に一様な安定性は不可能であることを確立すること。
• 非一様メッシュ上での安定性を保証するため、$\tau \leqslant c_0 h_{\min}^2$ といった厳密な時間ステップ制限が必要であるかどうかを調査すること。
• 細分化された非一様メッシュ上での数値実験を通じて理論的予測を検証すること。

提案手法

• 非一様空間メッシュ上での1次元波動方程式に対して、Numerov法に基づく三段階コンパクト有限差分スキームを構築する。
• メッシュ加重内積を用いて離散エネルギーノルムを定義し、差分作用素に関連する固有値問題を用いて安定性を分析する。
• 離散固有値問題に複素固有値が出現することは、時間とともに解のノルムが指数関数的に増大することを示すことを証明する。
• 安定性の必要条件を導出し、複素固有値が存在する場合には、いかなる空間ノルムに対しても時間に一様な安定性が成立しないことを示す。
• 細分化された非一様メッシュ $\overline{\omega}_{h}^{0,K}$ の族を用いて、メッシュの細分化に伴うスキームの挙動を調査し、$\tau$ と $h_{\min}$ を含む漸近的安定性条件を導出する。
• 空間に局在する初期データを用いた数値実験を行い、時間経過に伴う誤差増大を計算することで、理論的予測である指数的不安定性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな高次精度有限差分スキームが非一様メッシュ上での波動方程式に対していつ不安定化するのか。
• RQ2 離散固有値問題に複素固有値が出現する場合、時間に一様な安定性を達成できるか。
• RQ3 非一様メッシュ上での非一様時間安定性を保証するため、時間ステップ $\tau$ と最小空間ステップ $h_{\min}$ の間にはどのような関係が必要か。
• RQ4 誤差の指数的増大率は、メッシュの細分化と時間経過にどのように依存するか。
• RQ5 数値結果は理論的不安定性予測をどの程度確認しているか。

主な発見

• 離散固有値問題に複素固有値が存在することは、解のノルムが指数関数的に増大することを意味し、スキームが強力に非散乱的かつ実用的でなくなる。
• スペクトル解析により、複素固有値が存在する場合には、いかなる空間ノルムに対しても時間に一様な安定性が成立しないことが証明された。
• 一部の細分化された非一様メッシュの系列では、時間に一様でない安定性に対しても、$\tau \leqslant c_0 h_{\min}^2$ の安定性条件が必要となることが示された。これは、放物型方程式に対する明示スキームと同様の性質である。
• 数値実験では、誤差の崩壊的増大が観測された：$T=2$ のとき、$K=20$ では誤差が $1.443 \times 10^{-4}$ から $K=80$ では $1.082 \times 10^5$ に増大し、指数的不安定性を確認した。
• 観測された実用的増大率 $\varkappa_{pr} \approx 4.817$ は、$K=20$ の理論的推定値 $\varkappa_0 \approx 4.579$ とよく一致し、理論モデルの妥当性を裏付けた。
• 複素固有値が存在する限り、スキーム中の $\sigma$ の値に関わらず、スキームは不安定であり、核心的な安定性条件は $\sigma$ に依存しない。