[論文レビュー] A compactification of the space of maps from curves

Bumsig Kim, Andrew Kresch+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$n$-点付き曲線から非特異な射影的多様体 $X$ への種数 $g$ の安定な分岐写像のモジュライ空間の新しいコンpact化 $ττ\overline{\mathfrak{U}}_{g,\mu}(X,\beta)$ を構成する。このコンpact化は、マークド点における所定の分岐指数 $μ_i$ を持つ。コンpact化は、自然な仮想基本類を備えた固有のデリーニュ＝マクナリー スタックである。これにより、仮想基本類に沿った積分によって分岐 Gromov-Witten 不変量を定義できる。

ABSTRACT

We construct a new compactification of the moduli space of maps from pointed nonsingular projective stable curves to a nonsingular projective variety with prescribed ramification indices at the points. It is shown to be a proper Deligne-Mumford stack equipped with a natural virtual fundamental class.

研究の動機と目的

• 種数 $g$ の曲線から非特異な射影的多様体 $X$ への写像のモジュライ空間の固有コンpact化を構成すること。このとき、$n$ 個のマークド点において所定の分岐を指定する。
• 4 つの既知のコンpact化（Fulton-MacPherson の配置空間、Kontsevich の安定写像、Harris-Mumford の適切な被覆、Li の安定相対写像）を統一すること。
• 新しいモジュライ空間上の仮想基本類を用いて、分岐 Gromov-Witten 不変量を定義すること。
• Pandharipande が予想したように、これらの不変量と代数幾何における BPS 数の間の可能性のある関係を確立すること。

提案手法

• Fulton-MacPherson の退化空間を、$X[n] \times X$ の繰り返しの滑らかな中心への吹き上げによって構成した、標的幾何として用いる。
• 分岐を制御し、固有性を保証するために、対数構造と（対数）適切な写像の概念を用いる。
• 対数写像の変形理論を適用し、$R\pi_*(f^*T^\dagger_{\mathcal{W}}(-\sum \mu_i p_i))$ の双対を用いて完全な障害理論を構成する。
• 文献 [4] および [21] の仮想基本類の構成法を用い、プレスタブル曲線と FM 空間の基底スタック $\mathfrak{B}$ の代数的かつ純粋次元性に依拠する。
• 仮想基本類の存在と、固有性およびデリーニュ＝マクナリー構造の確認に、[23] および [21] の結果を適用する。
• 不変量を定義するために、$\psi$-類への積分およびコホモロジー類の引き戻しを可能にする自然な準同型 $Te_i: \overline{\mathfrak{U}}_{g,\mu}(X,\beta) \to \mathbb{P}TX$ を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定分岐写像のモジュライ空間のコンpact化を構成可能か。このコンpact化は、安定写像や適切な被覆といった既知のコンpact化を含むか。
• RQ2 得られるモジュライ空間は、分岐設定における Gromov-Witten 不変量の定義を可能にする自然な仮想基本類を備えているか。
• RQ3 分岐 Gromov-Witten 不変量と BPS 数の間には、特に局所的に Fano の場合に、予想される関係があるか。
• RQ4 このコンpact化によって定義された不変量は、Pandharipande が予想したように、既知の整数値 BPS 不変量を回復できるか。

主な発見

• モジュライ空間 $\overline{\mathfrak{U}}_{g,\mu}(X,\beta)$ は、標数 0 の代数閉体上に存在する固有のデリーニュ＝マクナリー スタックである。
• 自然な仮想基本類を備えており、分岐 Gromov-Witten 不変量の定義に適している。
• 本構成は、4 つの主要なコンpact化を統一する：Fulton-MacPherson の配置空間、Kontsevich の安定写像、Harris-Mumford の適切な被覆、Li の安定相対写像。
• $\mu = (1,\dots,1)$ のとき、この空間は標準的な非分岐 Gromov-Witten モジュライ空間 $\overline{\mathfrak{U}}_{g,n}(X,\beta)$ に還元され、古典的不変量が回復される。
• 3 次元多様体上の局所的に Fano の曲線類に対して、分岐不変量は予想される BPS 数 $n_{g,\beta}(\gamma_1,\dots,\gamma_n)$ と一致するとされ、Zinger の非分岐の場合の整数性に関する結果がこれを裏付けている。
• 仮想基本類は、対数接ベクトル層と [23] および [21] の変形理論的道具を用いた完全な障害理論により構成される。