[論文レビュー] A Compactification of the Space of Plane Curves

Paul Hacking|ArXiv.org|Apr 19, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 4$ の滑らかで平面的な曲線のモジュライ空間の幾何的かつ明示的に計算可能なコンパクト化を、$X$ が半対数 canonical なデル ペッツォ表面で、$dK_X + 3D \sim 0$ を満たす安定対 $(X,D)$ のモジュライスタック $\mathcal{M}_d$ を定義することによって構成する。主な貢献は、安定対に現れる退化する表面 $X$ の完全分類であり、特に $d=4,5,6$ に対して明示的な結果を得ており、$\mathcal{M}_d$ が固有で分離されたデリーニュ–マッカマックスタックであり、$3 \nmid d$ のときには滑らかであることを証明している。コンパクト化は、$\mathbb{Q}$-ゴレンシュタインの変形理論と $\alpha \to 3/d^+$ の極限構成を用いて達成され、元々の $\mathcal{M}_d^\alpha$ の手法における技術的問題を回避する。

ABSTRACT

We define a geometrically meaningful compactification of the moduli space of smooth plane curves, which can be calculated explicitly. The basic idea is to regard a plane curve D in P^2 as a pair (P^2,D) of a surface together with a divisor, and allow both the surface and the curve to degenerate. For plane curves of degree d at least 4, we obtain a compactification M_d which is a moduli space of stable pairs (X,D) using the log minimal model program. A stable pair (X,D) consists of a surface X such that -K_X is ample and a divisor D in a given linear system on X with specified singularities. Note that X may be non-normal, and K_X is Q-Cartier but not Cartier in general. We give a rough classification of stable pairs of arbitrary degree, a complete classification in degrees 4 and 5, and a partial classification in degree 6. The compactification is particularly simple if d is not a multiple of 3 - in particular the surface X has at most 2 components. We give a characterisation of these surfaces in terms of the singularities and the Picard numbers of the components. Moreover, we show that M_d is smooth in this case.

研究の動機と目的

• $d \geq 4$ の滑らかな平面曲線のモジュライ空間 $V_d$ の幾何的かつ明示的に計算可能なコンパクト化を構成すること。
• $K_X + D$ が半対数 canonical であり、非常に大域的であるような安定対 $(X,D)$ のモジュライスタック $\mathcal{M}_d$ を定義することにより、コラール–シーファード・バロンのモジュライ空間を一般化すること。
• $d$ 次の安定対において現れる可能性のあるすべての退化表面 $X$ を分類すること、特にタイプ A, B, C, D を区別し、タイプ B* が存在しないことを示すこと。
• 相対的最小モデルプログラムと $\mathbb{Q}$-ゴレンシュタインの変形理論を用いて、$\mathcal{M}_d$ が固有で分離されたデリーニュ–マッカマックスタックであることを確立すること。
• $3 \nmid d$ のとき、$K_X$ のインデックスに関する明示的評価と変形論的技法を用いて、$\mathcal{M}_d$ が滑らかであることを証明すること。

提案手法

• $d$ 次の安定対 $(X,D)$ を、$X$ が半対数 canonical なデル ペッツォ表面であり、$dK_X + 3D \sim 0$ を満たし、$\epsilon > 0$ が十分に小さいとき $K_X + (3/d + \epsilon)D$ が半対数 canonical であるものとして定義する。
• $\alpha \to 3/d^+$ の極限として $\mathcal{M}_d^\alpha$-コンパクト化の系列の極限として、$\mathcal{M}_d$ を構成し、元々の $\alpha$-変形フレームワークにおける技術的問題を回避する。
• 第10節で開発された、slc 表面の $\mathbb{Q}$-ゴレンシュタインの変形理論を用いて、$K_{\mathcal{X}/S}$ と $\mathcal{D}$ が $\mathbb{Q}$-カルティエであることを保証し、変形の制御を可能にする。
• 相対的最小モデルプログラム（MMP）を用いて、$\mathcal{M}_d$ が分離的かつ固有であることを証明し、値の評価基準と相対的 MMP の存在を用いる。
• 退化表面 $X$ を四つのタイプに分類する：A（正規）、B（二成分からなる非正規）、C および D（退化したカスプを有する非正規）、そしてタイプ B* が非滑らかに可能でないため、出現しないことを証明する。
• $dK_X + 3D \sim 0$ の条件を用いて、$\operatorname{Cl}X$ 内の $K_X$ のインデックスを制限し、$3 \nmid d$ のとき $X$ がマネッティ表面またはタイプ B である必要があることを示し、明示的な分類を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定対 $(X,D)$ の $d$ 次において、どのような退化表面 $X$ が現れる可能性があるか？
• RQ2 1つの折りたたみ二重曲線を持つ、非正規な滑らかでない安定対としてのタイプ B* 表面は、なぜいかなる安定対にも出現しないのか？
• RQ3 $3 \nmid d$ のとき、$dK_X + 3D \sim 0$ の条件が $X$ の幾何学的構造と特異点にどのように制限を加えるか？
• RQ4 相対的滑らかに可能であるという条件を放棄した場合、なぜモジュライスタック $\mathcal{M}_d$ は代数的スタックでないのか？
• RQ5 $X$ に滑らかでない成分がある場合、安定対 $(X,D)$ の変形空間の構造はどのようなものか？ そして、これは $\mathcal{M}_d$ の局所構造にどのように影響するか？

主な発見

• モジュライスタック $\mathcal{M}_d$ は、固有で分離されたデリーニュ–マッカマックスタックであり、$d \geq 4$ の滑らかな平面曲線のモジュライ空間 $V_d$ の幾何的コンパクト化を提供する。
• タイプ B* 表面は形式的には可能ではあるが、第6節で示されるように $\mathbb{P}^2$ に滑らかに変形できないため、いかなる安定対にも出現しない。
• $3 \nmid d$ のとき、$\mathcal{M}_d$ は滑らかである。これは $\operatorname{Cl}X$ 内の $K_X$ の3乗可能性によるもので、$X$ がマネッティ表面またはタイプ B に限られるためである。
• $d=4,5$ の場合、退化表面 $X$ の分類は完全であり、$X$ 上の $D$ の可能な特異点も完全に特定されている。
• $d=6$ の場合、最大18個の成分を有する表面 $X$ が存在する（例16.5を参照）、タイプ C および D の候補リストは提示されているが、滑らかに可能かどうかは未解決のままである。
• $3 \mid d$ のとき、例16.6で示されるように、変形空間内に滑らかでない成分が存在するため、スタック $\mathcal{M}_d$ は滑らかでない。