[論文レビュー] A Compactness Theorem for Riemannian Manifolds with Boundary and Applications

Kenneth S. Knox|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、曲率、直径、境界面積、平均曲率の上限がある条件下で、境界をもつ一様に平均凸なリーマン3次元多様体に対して、弱 $L^{1,p}$ および Hölder ($C^{\tau}$) なコンパクト性定理を確立する。主な結果により、2つの幾何的安定性定理が得られる：リッチ曲率が0に近いで境界が球面に近い多様体は $C^{\tau}$-近傍にユークリッド球に近く、リッチ曲率が $\pm1$ に近く、平均曲率が $2$、$2\sqrt{2}$、または $0$ に近い多様体は、それぞれ曲率 $0$、$-1$、$1$ の空間形式内の球面に $C^{\tau}$-近傍に近い。

ABSTRACT

In this paper we prove weak L^{1,p} (and thus C^α) compactness for the class of uniformly mean-convex Riemannian n-manifolds with boundary satisfying bounds on curvature quantities, diameter, and (n-1)-volume of the boundary. We obtain two stability theorems from the compactness result. The first theorem applies to 3-manifolds (contained in the aforementioned class) that have Ricci curvature close to 0 and whose boundaries are Gromov-Hausdorff close to a fixed metric on S^2 with positive curvature. Such manifolds are C^α close to the region enclosed by a Weyl embedding of the fixed metric into \R^3. The second theorem shows that a 3-manifold with Ricci curvature close to 0 (resp. -2, 2) and mean curvature close to 2 (resp. 2\sqrt 2, 0) is C^α close to a metric ball in the space form of constant curvature 0 (resp -1, 1), provided that the boundary is a topological sphere.

研究の動機と目的

• 曲率、直径、境界面積、平均曲率の上限がある条件下で、境界をもつリーマン $n$-多様体に対するコンパクト性定理の確立。
• Cheeger-GromovおよびKodani型のコンパクト性結果を、平均凸性および点での平均曲率制御を含むように拡張する。
• リッチ曲率および平均曲率の制約の下で、境界をもつ3次元多様体に対する幾何的安定性定理を導出する。
• このような多様体の列が $C^{\tau}$ および弱 $L^{1,p}$ 位相で極限に収束し、曲率および境界幾何が制御された極限を持つことを示す。

提案手法

• 曲率、直径、境界面積、平均曲率の上限がある一様に平均凸なリーマン $n$-多様体のクラスに対して、弱 $L^{1,p}$ および $C^{\tau}$ コンパクト性を証明する。
• 調和座標および内挿的解析を用いて、内部および境界での計量の $L^{2,p}$ 制御を達成する。
• 平均曲率の点での上限を用いて境界付近での計量の法線成分を制御し、$L^{1,p}$ 正則性を導く。
• 楕円型正則性および正則な二次微分形式の理論を用いて、$\mathbb{R}^3$ や $\mathbb{H}^3$ への $S^2$ の定常平均曲率埋め込みが、球面または赤道に限ることを示す。
• 発展写像および $L^{1,p}$ での収束を用いて、極限計量が定曲率を持ち、空間形式の球面に等長であることを示す。
• Almgrenの最小埋め込みに関する結果および正則な二次微分形式を用いて、$S^3$ への $C^{2,\epsilon}$ 同長埋め込みで第二基本形式が定数であるものは、必ず赤道に限ることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点での平均曲率の制御のみがある場合でも、曲率、直径、境界面積、平均曲率の上限がある条件下で、境界をもつリーマン多様体に対するコンパクト性定理を確立できるか？
• RQ2 リッチ曲率が0に近く、境界が正の曲率を持つ球面にGromov-Hausdorffで近い3次元多様体の列が、$\mathbb{R}^3$ 内のユークリッド球に $C^{\tau}$-収束する条件は何か？
• RQ3 リッチ曲率が $-1$、$0$、または $1$ に近く、平均曲率が $2\sqrt{2}$、$2$、または $0$ に近い3次元多様体が、それぞれ対応する空間形式内の球面に収束する条件は何か？
• RQ4 弱 $L^{1,p}$ 収束および曲率の上限から、極限計量の $C^{\tau}$ 正則性がどの程度保証されるか？
• RQ5 正則な二次微分形式の議論を解析的状態から $C^{2,\epsilon}$ 同長埋め込みに拡張することで、定常平均曲率曲面の剛性を証明できるか？

主な発見

• 曲率 $|\sec(M)|\leq K$、直径 $\textrm{diam}(M)\leq D$、境界面積 $\operatorname{area}(\partial M)\geq A_0$、平均曲率 $0 < 1/H_0 < H < H_0$ を満たす一様に平均凸なリーマン $n$-多様体のクラスは、任意の $0<\tau<1$ および $p<\infty$ に対して、$C^{\tau}$ および弱 $L^{1,p}$ 位相で相対コンパクトである。
• 3次元多様体の列がリッチ曲率 $\to 0$、平均曲率 $\to 2$、境界が正の曲率を持つ $S^2$ にGromov-Hausdorffで近いならば、極限は $C^{\tau}$-近傍にユークリッド球に近い。
• 3次元多様体が $\chi(\partial M)=2$、リッチ曲率 $\to -2$、平均曲率 $\to 2\sqrt{2}$ ならば、それは $\mathbb{H}^3$ の曲率 $-1$ の球面に $C^{\tau}$-近傍に近い。
• 3次元多様体が $\chi(\partial M)=2$、リッチ曲率 $\to 2$、平均曲率 $\to 0$ ならば、それは $\mathbb{S}^3$ の曲率 $1$ の球面に $C^{\tau}$-近傍に近い。
• 極限計量の発展写像は、$\mathbb{R}^3$ や $\mathbb{H}^3$ への $S^2$ の $C^{2,\epsilon}$ 同長埋め込みを誘導し、このような埋め込みで第二基本形式が定数であるものは、必ず球面または赤道に限る。
• 正則な二次微分形式および楕円型正則性を用いて、極限計量が $C^{\infty}$ であり、曲率 $0$、$-1$、または $1$ の空間形式内の球面に等長であることが示される。