[論文レビュー] A comparative study of implicit Jacobian-free Rosenbrock-Wanner, ESDIRK and BDF methods for unsteady flow simulation with high-order flux reconstruction formulations

Lai Wang, Meilin Yu|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 42被引用数 8

ひとこと要約

本研究では、高次フラックス再構築（FR/CPR）スキームを用いた非定常流れシミュレーションにおいて、ジャコビアンフリーのローゼンブロック＝ヴァナー（ROW）、ESDIRK、BDF2法を比較した。GMRESソルバーに要素ジャコビアンプリコンディショニングと擬似定常続行法を用い、著者らはROWおよびESDIRK法がBDF2法よりも効率的であることを発見した。線形ソルバーの収束許容誤差が厳しく設定された場合にはROW法がESDIRK法を上回る可能性があるが、ESDIRK法はより大きな時間ステップを許容でき、許容誤差がゆるい場合にはより頑健である。

ABSTRACT

We conduct a comparative study of the Jacobian-free linearly implicit Rosenbrock-Wanner (ROW) methods, the explicit first stage, singly diagonally implicit Runge-Kutta (ESDIRK) methods, and the second-order backward differentiation formula (BDF2) for unsteady flow simulation using spatially high-order flux reconstruction/correction procedure via reconstruction (FR/CPR) formulations. The pseudo-transient continuation is employed to solve the nonlinear systems resulting from the temporal discretizations with ESDIRK and BDF2. A Jacobian-free implementation of the restarted generalized minimal residual method (GMRES) solver is employed with a low storage element-Jacobi preconditioner to solve linear systems, including those in linearly implicit ROW methods and those from linearization of the nonlinear systems in ESDIRK and BDF2 methods. We observe that all ROW and ESDIRK schemes (from second order to fourth order) are more computationally efficient than BDF2, and ROW methods can potentially be more efficient than ESDIRK methods. However, the convergence tolerance of the GMRES solver for ROW methods needs to be sufficiently tight to preserve the nominal order of accuracy. In general, ESDIRK methods allow a larger physical time step size for unsteady flow simulation than ROW methods do.

研究の動機と目的

• 高次FR/CPR離散化におけるジャコビアンフリーのROW、ESDIRK、BDF2時間積分スキームの精度と計算効率を評価すること。
• ROWおよびESDIRK法の非線形および線形ソルバーの許容誤差が非定常流れシミュレーションの性能に与える影響を調査すること。
• 特に壁を伴う乱流の流れのような複雑さの変化に伴う、これらの手法の頑健性および精度の順序維持性を評価すること。
• プリコンディショニングおよびクリロフ部分空間ソルバーが、高次CFD手法における陰的時間積分の効率に果たす役割を検討すること。
• 長時間非定常シミュレーションにおいて、時間精度、安定性、計算コストの最適なバランスを特定すること。

提案手法

• ナビエ＝ストークス方程式の空間離散化に高次フラックス再構築（FR/CPR）を採用した。
• 多段階時間積分スキームを適用：ROW（2次～4次）、ESDIRK（2次～4次）、BDF2を時間離散化に用いた。
• すべての手法において、低メモリ使用の要素ジャコビアンプリコンディショナーを備えたジャコビアンフリーのGMRESソルバーを用いて線形方程式系を解いた。
• ESDIRKおよびBDF2法で生じる非線形方程式系を解くために、擬似定常続行法を実装した。
• ROW法の線形ソルバー許容誤差を厳しく設定して、名目上の精度順序を維持した一方、ESDIRKおよびBDF2法ではコストを削減するためにゆるい許容誤差を使用した。
• 誤差評価のための収束研究として、参考スペクトル解を用いたテイラー＝グリーン渦の減衰問題を実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次FR/CPRスキームを用いた非定常流れを解く際、ROW、ESDIRK、BDF2法の計算効率はどのように比較されるか？
• RQ2 ROWおよびESDIRK法の精度と効率に及ぼす線形および非線形ソルバーの許容誤差の影響は何か？
• RQ3 不正確な線形解を用いた場合、ROW法はその名目上の精度順序を維持できるか？ その影響は全体の効率にどのように現れるか？
• RQ4 特に壁を伴う乱流のような複雑な流れにおいて、ROW法とESDIRK法の許容される時間ステップサイズはどのように比較されるか？
• RQ5 要素ジャコビアンプリコンディショナーの性能が、高次シミュレーションにおけるROW法の効率に及ぼす影響はどの程度か？

主な発見

• ROWおよびESDIRK法は、高次FR/CPRスキームを用いた非定常流れシミュレーションにおいて、BDF2法よりも顕著に計算効率が優れている。
• ROW法の線形ソルバー許容誤差を厳しく制御（例：10−6）した場合、1ステップあたりの収束性能が優れているため、ROW法はESDIRK法を上回る効率を示す。
• ESDIRK法はROW法よりも大きな物理的時間ステップを許容でき、許容誤差をゆるくした場合には全体の効率が向上する。
• ROW法におけるGMRESソルバーの収束許容誤差は、名目上の精度順序を維持するため十分に厳しく設定する必要がある（例：10−6）；許容誤差がゆるいと精度順序の低下が生じる。
• ESDIRK法は、壁を伴う非定常流れのようなさまざまな流れ条件下でもROW法よりも頑健である。これは、性能の一貫性が高く、許容誤差設定への感受性が低いからである。
• 要素ジャコビアンプリコンディショナーの性能は、ROW法の効率に顕著な影響を与える。良好な収束挙動を得るためには時間ステップサイズが制限されるが、ESDIRK法はより大きな時間ステップでも効果的に機能する。