[論文レビュー] A Comparative Study of Limiting Strategies in Discontinuous Galerkin Schemes for the $M_1$ Model of Radiation Transport

Prince Chidyagwai, Martin Frank+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 48被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$M_1$放射輸送モデルを解くための discontinuous Galerkin スキームに、一次元の実現可能性制限子を2次元に拡張する。3次元DGスキームにおいて、実現可能性制限子とTVBM勾配制限子を組み合わせることが、三角形メッシュおよび長方形メッシュの両方で解の実現可能性を維持し、不適切な振動を抑えるために不可欠であることを示している。

ABSTRACT

The $M_1$ minimum entropy moment system is a system of hyperbolic balance laws that approximates the radiation transport equation, and has many desirable properties. Among them are symmetric hyperbolicity, entropy decay, moment realizability, and correct behavior in the diffusion and free-streaming limits. However, numerical difficulties arise when approximating the solution of the $M_1$ model by high order numerical schemes; namely maintaining the realizability of the numerical solution and controlling spurious oscillations. In this paper, we extend a previously constructed one-dimensional realizability limiting strategy to 2D. In addition, we perform a numerical study of various combinations of the realizability limiter and the TVBM local slope limiter on a third order Discontinuous Galerkin (DG) scheme on both triangular and rectangular meshes. In several test cases, we demonstrate that in general, a combination of the realizability limiter and a TVBM limiter is necessary to obtain a robust and accurate numerical scheme. Our code is published so that all results can be reproduced by the reader.

研究の動機と目的

• 高次元不連続ガラーキンスキームにおける$M_1$放射輸送モデルの数値不安定性、特に実現可能性の喪失と不適切な振動を解消すること。
• 既に開発済みの一次元実現可能性制限戦略を2次元問題に拡張すること。
• 実現可能性制限子とTVBM勾配制限子のさまざまな組み合わせが、解の精度と安定性を維持する上で果たす役割を評価すること。
• 解がエントロピーの減少や拡散・自由流れ極限での正しい挙動といった、重要な物理的性質を保持することを保証すること。
• すべての報告された結果の再現性を可能にするために、オープンソースコードを提供すること。

提案手法

• 局所再構成技術を用いて、一次元実現可能性制限子を三角形メッシュおよび長方形メッシュの2次元に適応すること。
• $M_1モーメント系に3次元不連続ガラーキン空間離散化を実装すること。
• 要素ごとの多項式再構成における不適切な振動を制御するため、TVBM（Total Variation Bounded Minmod）勾配制限子を適用すること。
• 実現可能性制限子とTVBM制限子を組み合わせることで、解の実現可能性と有界な変動性を両立させること。
• 安定性を保ちながら時間発展を進めるために、予測子・修正子時間積分スキームを用いること。
• 精度、実現可能性、振動制御の評価を目的としたベンチマークテストケースを用いて、スキームを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一次元実現可能性制限子を効果的に2次元三角形メッシュおよび長方形メッシュに拡張する方法は何か？
• RQ2 実現可能性制限子とTVBM勾配制限子の両方が、解の安定性と精度を維持する上で果たす相対的寄与は何か？
• RQ3 両制限子の組み合わせは、急勾配や不連続性を有する多様なテストケースにおいて、一貫して頑健性を確保できるか？
• RQ4 異なる制限子の組み合わせが、エントロピー減少や実現可能性といった物理的性質の保持に与える影響は何か？
• RQ5 メッシュタイプ（三角形対長方形）の選択が、制限戦略の性能にどの程度影響を及えるか？

主な発見

• 一次元実現可能性制限子の2次元への拡張は、三角形メッシュおよび長方形メッシュの両方でモーメントの実現可能性を効果的に維持した。
• 実現可能性制限子のみを用いる場合、急勾配領域で持続的な不適切な振動が生じ、解の勾配に対する制御が不十分であることが示された。
• TVBM勾配制限子のみを用いる場合、高次多項式近似と強い放射場の状況では実現可能性が保持されないことが分かった。
• 実現可能性制限子とTVBM制限子の組み合わせ戦略は、すべてのテストケースで安定的で振動のない、物理的に実現可能な解を一貫して得た。
• 提案されたスキームは、拡散極限および自由流れ極限においても正しい漸近的挙動を維持しており、重要な物理的性質が保持されていることが確認された。
• オープンソース実装により、すべての数値的結果の完全な再現性が可能となり、透明性とさらなる研究を支援した。