[論文レビュー] A comparison of a few numerical schemes for the integration of stochastic differential equations in the Stratonovich interpretation

David García-Álvarez|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ストラトノビッチ解釈における確率微分方程式の積分に用いられる3つの数値スキーム—ヘウン、ミルスタイン、および導関数を含まないミルスタイン—を評価する。強い収束解析と計算時間の測定を用いて、ヘウン法が、2次予測補正構造と比較的低い計算オーバーヘッドを有するが、わずかに高い1ステップあたりのコストを有することを除き、特に小さな時間刻みにおいて、精度と効率の両面で他の手法を上回ることを明らかにした。

ABSTRACT

Three schemes, whose expressions are not too complex, are selected for the numerical integration of a system of stochastic differential equations in the Stratonovich interpretation: the integration methods of Heun, Milstein, and derivative-free Milstein. The strong (path-wise) convergence is studied for each method by comparing the final points after integrating with $2^n$ and $2^{n-1}$ time steps. We also compare the time that the computer takes to carry out the integration with each scheme. Putting both things together, we conclude that, at least for our system, the Heun method is by far the best performing one.

研究の動機と目的

• ストラトノビッチ解釈における確率微分方程式のための3つの数値統合スキームの性能を評価・比較すること。
• 異なる時間刻み解像度での結果を比較することにより、各スキームの強い（経路ごとの）収束を評価すること。
• 各手法の計算コストを分析し、効率のトレードオフを特定すること。
• 加法的ノイズを有するシステムにおける実装の観点から、最も効果的なスキームを同定すること。
• ヘウン法が単純であるにもかかわらず、精度対コスト比に優れていることを検証すること。

提案手法

• ヘウン法を採用し、2次予測補正スキームとして、予測にオイラー法を用い、補正に平均化を適用する。
• ミルスタインおよび導関数を含まないミルスタインスキームを適用し、拡散係数の導関数に基づく2次補正項を含む。
• 各時間ステップで独立な正規乱数 ∼N(0, h) を用いて、離散化されたウィENER過程をシミュレートする。
• 2^n および 2^(n-1) の時間ステップを用いて積分を行い、収束次数を評価する。
• 各手法の計算時間を測定し、効率のトレードオフを評価する。
• 複数回の実行における統計的モーメント（平均、2次から4次までの中心モーメント）を分析し、安定性と精度を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘウン法、ミルスタイン法、および導関数を含まないミルスタイン法は、ストラトノビッチSDEにおいて、強い収束性においてどのように比較されるか？
• RQ2 各スキームの計算コストは何か？ そして、これは全体的なパフォーマンスにどのように影響するか？
• RQ3 同じ計算負荷において、ヘウン法はミルスタイン法よりも高い精度を達成できるか？
• RQ4 ミルスタイン法では粗い時間刻みで発散が生じる理由は何か？ これはヘウン法と比較してどう異なるか？
• RQ5 加法的ノイズの存在下で、ヘウン法は高次のスキームよりもより頑健で効率的であると言えるか？

主な発見

• ヘウン法は、全テスト時間刻みにおいて、ミルスタイン法と比較して、平均および中心モーメントの絶対値が著しく低く（最大1桁小さい）、優れた精度を示した。
• ミルスタイン法では2^10ステップで発散が生じたが、ヘウン法は2^9ステップまで安定であった。これは、数値的安定性に優れていることを示している。
• 1ステップあたりの計算時間はわずかに増加したが、ヘウン法は2倍の時間ステップ数でミルスタイン法と同等の精度を達成した。
• ヘウン法の2次精度と単純さのおかげで、全体的な効率が向上した。その高い精度が、わずかな計算コストを補って余りある。
• 加法的ノイズの場合、ミルスタイン法はオイラー法に簡略化されるため、ヘウン法の2次収束の一貫性がより優位である。
• 精度、安定性、実装の容易さのバランスに優れるため、ヘウン法を最良の性能を示すスキームとして推奨する。