[論文レビュー] A comparison of element agglomeration algorithms for unstructured geometric multigrid

Steven Dargaville, A.G. Buchan+3 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、三角形および四面体メッシュ上での放射輸送問題に適用された非構造的幾何的多重グリッド法に、7つの要素凝集アルゴリズムを評価している。行列フリーなソルバーを用いて、3次元では最も細かいグリッド上でMETISベースの攻撃的コarseningが実行時間とセットアップ時間において最短であった。2次元では、すべてのアルゴリズムが同程度の性能を示し、METISおよびMGridGenが、凝集サイズの制御性と低コストのクリーニングを特徴として優れた性能を発揮した。

ABSTRACT

This paper compares the performance of seven different element agglomeration algorithms on unstructured triangular/tetrahedral meshes when used as part of a geometric multigrid. Five of these algorithms come from the literature on AMGe multigrid and mesh partitioning methods. The resulting multigrid schemes are tested matrix-free on two problems in 2D and 3D taken from radiation transport applications; one of which is in the diffusion limit. In two dimensions all coarsening algorithms result in multigrid methods which perform similarly, but in three dimensions aggressive element agglomeration performed by METIS produces the shortest runtimes and multigrid setup times.

研究の動機と目的

• 非構造的三角形／四面体メッシュ上での幾何的多重グリッドのための粗グリッド構築に用いられる7つの要素凝集アルゴリズムの性能を評価すること。
• 異なるコアスニング戦略が、高次元の位相空間を有する放射輸送応用における行列フリーな多重グリッド効率に与える影響を評価すること。
• 2次元および3次元問題において、実行時間とセットアップ時間を最小化するための最適な凝集サイズとコアスニングの攻撃的度合いを特定すること。
• 要素行列を保存できない純粋な幾何的、行列フリーなフレームワークにおいて、幾何的コアスニング手法とAMGeにインspiredされたアルゴリズムを比較すること。
• 特にメモリ制約があり、行列フリーなソルバーを用いる状況において、非構造的幾何的多重グリッドに適した凝集アルゴリズムの選定に関する実用的提案を提供すること。

提案手法

• 要素凝集を用いて、アセンブルドまたはアンアセンブルドの要素行列を必要とせずに、細かい非構造的メッシュから幾何的に粗グリッドを生成する。
• 行列フリーな幾何的多重グリッドソルバーを採用し、 prolongation および restriction 演算子はブロック構造をとり、行列を保存せずに適用する。
• 7つのコアスニングアルゴリズムを評価：Greedy, METIS, MGridGen, Jones, Kraus, RGB、およびノードベースの凝集手法。
• 凝集サイズは、例えば2次元では4、3次元では下位レベルで8といったターゲットサイズで制御され、上位グリッドでは攻撃的なコアスニング（2次元では24要素、3次元では170–200要素）が適用される。
• 性能は、ソルブ時間、セットアップ時間、グリッドの複雑さを指標として測定され、放射輸送問題から得られた2次元および3次元問題（1つは拡散極限状態）を用いてテストされた。
• 評価は幾何的コアスニングに限定され、メモリ制約および行列フリー制約のため、代数的演算子構築は回避された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる要素凝集アルゴリズムは、非構造的メッシュ上での行列フリーな幾何的多重グリッドソルバーの性能にどのように影響を与えるか？
• RQ2 2次元および3次元において、ソルブ時間とセットアップ時間を最小化するための最適な凝集サイズと、最も細かいグリッドでのコアスニングの攻撃的度合いは何か？
• RQ3 凝集サイズをターゲットとするアルゴリズム（例：METIS, MGridGen）と、粗い要素のサイズを制限するアルゴリズム（例：Jones, RGB）を、純粋な幾何的多重グリッド環境で比較すると、どのような差が生じるか？
• RQ4 単純なブロック演算子を用いる場合、凝集の形状（例：円形／球形）が多重グリッド性能にどの程度影響を与えるか？
• RQ5 ノードベースの凝集やサイズに基づく探索といった単純なコアスニング戦略は、最小限のクリーニングで妥当な性能を達成できるか？

主な発見

• 2次元では、すべてのコアスニングアルゴリズムが類似したソルブ時間を示し、低次元では性能差が顕著でないことが示された。
• 3次元では、最も上位のグリッドでMETISベースの攻撃的コアスニングが、全体の実行時間と多重グリッドのセットアップ時間において最短であった。
• 3次元では1.25–1.5のグリッド複雑度が最適であったが、2次元では1.25付近が最良であり、構造的多重グリッドの性能と一致した。
• Jones, Kraus, RGBのようなアルゴリズムは、凝集が小さすぎるためグリッド複雑度が高くなり、実行時間が長くなった。
• 単純な凝集手法（例：ノード接続型、サイズベース）は2次元では妥当な結果を出したが、クリーニングが大幅に必要で、3次元では非効率であった。
• METISは一貫して高品質な凝集を生成し、クリーニングが最小限で、最も高速な性能を発揮したため、非構造的幾何的多重グリッドの推奨選択肢である。