[論文レビュー] A comparison of encodings for cardinality constraints in a SAT solver

Ed Wynn, Reeves, Joseph E.+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2018

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 13被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、SATソルバーにおける基数制約の符号化方式として、Sinzの順序カウンタ、Bailleux-Boufkhadの木構造ベース、Abíãoらのソートベースの3つの方式を評価している。文の数や構造に顕著な違いがあるにもかかわらず、組み合わせ的テストケースにおいては、順序カウンタ符号化が実行時間において他の2つを上回った。驚くべきことに、補助変数の重複する解を排除するように符号化を強化しても、性能に顕著な影響がなく、より大きな符号化は本質的に遅いという仮定に疑問を呈した。

ABSTRACT

Cardinality constraints are important in many Sat problems; previous studies provide contradictory conclusions about the best encoding to use. Here, three encodings are compared: Sinz's sequential-counter, Bailleux and Boufkhad's tree-based, and Ab\'ıo and coworkers' sort-based approaches. The sequential-counter approach is found to be the fastest of these for a range of related, combinatorial test cases. All encodings permit multiple solutions in the auxiliary variables for a single solution to the main variables; the numbers of multiple solutions can be very large, and might impede a Sat solver. Variants of the encodings are developed, where extra clauses reduce the numbers of multiple solutions. These variants are found to have remarkably little effect on solution time, even when the number of clauses is approximately doubled. The results accentuate the well-known observation that clause count and other measures of encoding size are not reliable indicators of the difficulty of a Sat problem.

研究の動機と目的

• SATソルバーにおける基数制約の最良の符号化方式について、以前の研究で矛盾する結果が出ている問題を解決すること。
• 順序カウンタ、木構造ベース、ソートベースの3つの主要な符号化アプローチを、制御されたテスト条件下で評価すること。
• 補助変数の重複する解を削減するために符号化を強化することで、SATソルバーの性能が向上するかを調査すること。
• 文の数がSAT問題の難易度を的確に予測する指標であるという仮定に疑問を呈すること。

提案手法

• 本研究では、Sinzの順序カウンタ、BailleuxとBoufkhadの木構造ベース、Abíãoらのソートベースの3つの基数制約符号化方式を実装し、ベンチマークを実施した。
• 各符号化方式について、主変数の各割り当てに対して補助変数の解が重複しないようにするための、複数の強化バージョンを作成した。
• 強化技術には、一方通行および両方通行の文、および等価制約への変換が含まれる。
• 符号化方式は、グリッドに基づく制約（正方形と三角形）を含む組み合わせ的問題に対してテストされた。主変数はグリッドの点から導出された。
• ソルバーの性能は、実行時間の代理指標としてメモリアクセス回数と文の数を測定し、問題サイズに応じて可視化された。
• 変数の順序を変えて（行優先、渦巻き、ランダム）入力構造への感受性を評価した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 組み合わせ的問題において、順序カウンタ、木構造ベース、ソートベースの3つの基数制約符号化方式の中で、どれが最も速いSATソルビング性能を発揮するか？
• RQ2 補助変数の重複する解を排除するように符号化を強化することで、SATソルビングの性能に顕著な改善が見られるか？
• RQ3 文の数や符号化サイズが、SATソルビングの難易度とどの程度相関しているか。これらの指標は一般的にヒューリスティックとして用いられているが。
• RQ4 主変数の順序の変更（行優先、渦巻き、ランダム）によって、性能結果に顕著な差が生じるか、すなわち入力構造にどれほど感受性があるか？

主な発見

• 正方形と三角形を含むすべてのテストケースにおいて、順序カウンタ符号化が、木構造ベースおよびソートベースの符号化を上回り、最も速かった。
• 補助変数の解を減らすことで順序カウンタ符号化を強化しても、実行時間に顕著な影響がなく、文の数が2倍になっても同様だった。
• 木構造ベース符号化は、さまざまなバージョンでも一貫した性能を示したが、順序カウンタ符号化より遅かった。
• ソートベース符号化は3つの中で最も遅く、強化技術によっても性能が向上しなかった。
• 主変数の順序を変更しても（行優先、渦巻き、ランダム）、顕著な性能差が認められず、入力構造に強く依存しないことが示された。
• 結果として、文の数や符号化サイズは、SATソルビングの難易度を正確に予測する指標ではないことが明らかになった。強化された符号化で文数が増えても、元の符号化と同程度の性能を示した。