[論文レビュー] A comparison of minimal systems for constructive analysis

Garyfallia Vafeiadou|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、自然数の決定可能述語が特性関数を持つという主張を行う公理スキーマ $\mathrm{CF\!_{d}}$ を同定することにより、初等解析（EL）が最小解析系（M）よりも厳密に弱いことを確立する。主な貢献は、EL + $\mathrm{CF\!_{d}}$ が M と同値であり、$\mathrm{CF\!_{d}}$ が二つの体系間の本質的差を捉えていることの示唆である。これにより、構成的解析における両者の相対的強さについて長年の不確実性が解消される。

ABSTRACT

We establish a precise relation between M, a subsystem of the formal axiomatic system of intuitionistic analysis FIM of S. C. Kleene, and elementary analysis EL of A. S. Troelstra, two weak formal systems of two-sorted intuitionistic arithmetic, both widely used as basis for (various forms of) constructive analysis. We show that EL is weaker than M, by introducing an axiom schema CF_d asserting that every decidable predicate of natural numbers has a characteristic function. By similar arguments, we compare some more systems of two-sorted intuitionistic arithmetic, including the formal theory BIM of W. Veldman.

研究の動機と目的

• 構成的解析における二つの基礎的体系、すなわち最小解析系（M）と初等解析（EL）の間の明確な論理的関係を明らかにすること。
• M と EL 間の正確な公理的差異を同定すること。これは、かつて同値であると仮定されてきたが、形式的には確立されていなかった。
• EL が M より厳密に弱いかを示すために、EL に欠けている重要な原理 $\mathrm{CF\!_{d}}$ を特定すること。
• EL に $\mathrm{CF\!_{d}}$ を加えることで M と同値な体系が得られることを示し、EL + $\mathrm{CF\!_{d}}$ と M が同値であることを確立すること。
• M が一階直観的算術の上に保存的であること、および EL におけるチャーチの $\lambda$-抽象の除去可能性を確認することにより、先行研究を拡張すること。

提案手法

• 論文は、自然数上の任意の決定可能述語が特性関数を持つという主張を行う公理スキーマ $\mathrm{CF\!_{d}}$ を導入する。
• M における関数理解原理 $\mathrm{AC_{00}!}$ から $\mathrm{CF\!_{d}}$ が導かれることが証明され、EL + $\mathrm{CF\!_{d}}$ が M の強さを捉えていることが示される。
• モデル理論的および証明理論的技法を用いて、EL が $\mathrm{CF\!_{d}}$ を証明できないことを示し、EL が M より厳密に弱いかを確立する。
• J. ランド・モスコヴィアキスの証明の変種を用いた証明理論的手法により、EL におけるチャーチの $\lambda$-抽象の除去可能性を示す。
• EL を BIM（基本直観的数学）と比較し、両者が本質的に同値であることを示し、体系を証明理論的強さの観点から分類する。
• 定義的拡張および保存的性の議論を用いて、IA₁、HA₁、H およびそれらの選択および理解原理を含む拡張の間の論理的関係を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初等解析（EL）は最小解析系（M）よりも厳密に弱いか、それとも同値か？
• RQ2 M と EL 間の正確な論理的原理の差異は何か。それを公理スキーマとして特定できるか？
• RQ3 EL に $\mathrm{CF\!_{d}}$ を加えると M と同値な体系が得られるか。また、$\mathrm{CF\!_{d}}$ は EL に対して独立か？
• RQ4 チャーチの $\lambda$-抽象は EL から除去可能か。また、M は一階直観的算術の上に保存的か？
• RQ5 BIM と EL は証明理論的に同値か。それらは H や IA₁ などの他の体系とどのように関係するか？

主な発見

• EL は $\mathrm{CF\!_{d}}$ スキーマを証明できないことから、M より厳密に弱いことが示された。
• $\mathrm{CF\!_{d}}$ は EL と M 間の本質的差を捉えており、EL + $\mathrm{CF\!_{d}}$ は M と同値である。
• M は一階直観的算術の上に保存的であることが確認され、その基礎的強さが裏付けられた。
• チャーチの $\lambda$-抽象は EL から除去可能であり、J. ランド・モスコヴィアキスの結果がこの体系へと拡張された。
• EL と BIM は本質的に同値であり、両者とも IA₁ + QF-AC₀₀ と証明理論的に同値である。
• H、IA₁、HA₁、EL、BIM に $\mathrm{CF\!_{d}}$ を加えると、いずれの体系もより強い体系になる。