[論文レビュー] A comparison of positivity in complex and tropical toric geometry

José Ignacio Burgos Gil, Walter Gubler+2 more|University of Regensburg Publication Server (University of Regensburg)|Mar 19, 2020

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、実および複素正則構造を用いて、滑らかな複素トーリック多様体上の不変閉正の-current とそのトロピカル化上の閉正のLagerberg-current の間の対応関係を確立する。主な結果は、複素側の不変閉正の-current の錐が、トロピカル側の閉正のLagerberg-current の錐と同型であるという対応定理であり、これによりトロピカルトーリック多様体上の擬シュレーディンガー関数に対するBedford–Taylor理論が可能になる。

ABSTRACT

Given a smooth complex toric variety we will compare real Lagerberg forms and currents on its tropicalization with invariant complex forms and currents on the toric variety. Our main result is a correspondence theorem which identifies the cone of invariant closed positive currents on the complex toric variety with closed positive currents on the tropicalization. In a subsequent paper, this correspondence will be used to develop a Bedford-Taylor theory of plurisubharmonic functions on the tropicalization.

研究の動機と目的

• 複素トーリック幾何とトロピカルトーリック幾何における正則構造の比較。
• 複素トーリック多様体のトロピカル化における正の-current の理論の構築。
• 複素トーリック多様体上の不変閉正の-current とそのトロピカル化上の閉正のLagerberg-current の間の対応関係の確立。
• トロピカルトーリック多様体上の擬シュレーディンガー関数のBedford–Taylor理論の基礎を築く。

提案手法

• 形式およびcurrent の比較にあたり、実および複素ベクトル空間の正則構造を用いる。
• ストラタ間の整合性条件を満たす、実ベクトル空間上の滑らかな微分形式のLagerbergの双次数代数を適用する。
• トロピカル化のストラタ間の射影における整合性条件によってLagerberg-current を定義する。
• ストラタに沿った正のcurrent の分解と局所的質量解析を用いて、正則性を特徴付ける。
• current の閉性を保証するため、Skoda–El Mir定理のトロピカル版を適用する。
• Radon測度および正則Borel測度を用いて、全 Variation および適切な写像下での像測度を定義・解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素トーリック多様体上の不変閉正のcurrent は、そのトロピカル化上のそれらとどのように関係しているか？
• RQ2 トロピカルトーリック多様体上での擬シュレーディンガー関数に対するBedford–Taylor理論は構築可能か？
• RQ3 複素の不変current とトロピカルのLagerberg-current の間の正確な対応関係は何か？
• RQ4 ストラタ射影における整合性条件は、Lagerberg形式およびcurrent の正則性にどのように影響するか？
• RQ5 トロピカル化写像は、複素幾何からトロピカル幾何への正則構造の転送において果たす役割は何か？

主な発見

• 滑らかな複素トーリック多様体上の不変閉正のcurrent の錐は、そのトロピカル化上の閉正のLagerberg-current の錐と同型である。
• 対応関係は、分割構造および射影構造を尊重する、自然なcurrent の同一視によって確立される。
• トロピカル化写像は、current の閉性および正則性を保存し、解析的性質の転送を可能にする。
• 本稿では、正則性条件の下で、低次元ストラタに沿ってcurrent が拡張可能であることを保証する、Skoda–El Mir定理のトロピカル版を証明する。
• Lagerberg-current は、ストラタ間の射影における整合性条件によって特徴付けられ、境界方向における定数性を保証する。
• current の全 Variation は適切に定義され、有限である。また、適切なトロピカル化写像下で、像測度は保存される。