[論文レビュー] A comparison of techniques for dynamic multivariate risk measures

Zachary Feinstein, Birgit Rudloff|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Risk and Portfolio Optimization被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、取引コストと多変量の請求を伴う状況下で、集合最適化、可測選択子、集合値ポートフォリオ、スカラーリスク測度の族の4つのアプローチを動的多変量リスク測度に対して比較する。これらの枠組みが一致する条件を確立し、原始的および双対的表現を証明し、時間整合性を分析することで、動的で多変量的かつ摩擦を考慮した設定において、先行研究を統合する。

ABSTRACT

This paper contains an overview of results for dynamic multivariate risk measures. We provide the main results of four different approaches. We will prove under which assumptions results within these approaches coincide, and how properties like primal and dual representation and time consistency in the different approaches compare to each other.

研究の動機と目的

• 取引コストと複数の資産を伴う市場における、動的多変量リスク測度の4つの異なるアプローチを統合的・比較的に扱う。
• 集合最適化、可測選択子、集合値ポートフォリオ、スカラーファミリーの各フレームワークの結果が一致する条件を特定する。
• 全フレームワークにわたる時間整合性、原始的および双対的表現、およびナマラ選択の役割を分析する。
• 特に凸および一貫性リスク測度に対して、集合値リスク測度に関する既存の結果を動的ケースへ拡張する。
• 複数の適合資産を有するスカラーリスク測度が、統一された多変量フレームワーク内にどのように埋め込まれるかを示す。

提案手法

• 集合最適化を用いて、リスク測度を確率的ポートフォリオからポートフォリオ空間内の上位集合への集合値写像として定義し、集合値関数の凸解析を活用する。
• 可測選択理論を適用して、確率的集合の可測選択を用いてリスク測度を表現し、原始的および双対的表現を可能にする。
• 集合値ポートフォリオを導入して取引コストおよび市場の非効率性をモデル化し、流動性不足や取引制約をリスク測度構築に統合する。
• 複数の適合資産でインデックス付けされたスカラーリスク測度の族を提案し、既存の単変量および多変量モデルを一般化する。
• スカラライゼーション ρₜ^w(X) = ess inf_{u∈Rₜ(X)} wᵀu の条件付き凸性および下半分連続性を用いて、Rₜ(X) をすべての w ∈ Mₜ₊⁺\Mₜ⊥ における交差として特徴付ける。
• 分離超平面定理および分解性（例：𝓕ₜ-分解可能性）を用いて、Rₜ(X) がスカラライゼーションによって定義される半空間の交差に等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合最適化、可測選択子、集合値ポートフォリオ、スカラーファミリーの4つのアプローチが、動的多変量リスク測度において同等の結果をもたらす条件は何か？
• RQ2 取引コストの存在下で、4つのフレームワークにおける時間整合性の性質は、どのように異なったり一致したりするか？
• RQ3 集合最適化および可測選択子アプローチにおける原始的および双対的表現の関係は何か？
• RQ4 複数の適合資産を有するスカラーリスク測度の族は、より一般的な集合値フレームワークと同一のリスク評価を回復できるか？
• RQ5 ナマラ（またはナマラフリー）アプローチの選択が、動的多変量リスク測度の構造および性質にどのように影響するか？

主な発見

• リスク測度が閉集合的かつ条件付き凸的である場合、集合最適化と可測選択子アプローチは同等の結果をもたらし、適切な条件下で時間整合性が保持される。
• スカラライゼーション ρₜ^w が下半分連続かつ条件付き凸的である限り、複数の適合資産を有するスカラーリスク測度の族は、集合最適化フレームワークと同一のリスク評価を回復できる。
• 集合値ポートフォリオアプローチは集合最適化フレームワークを一般化し、双対的表現および時間整合性を持つリスク測度のより大きな部分クラスを許容する。これは、集合最適化構造への埋め込みによって実現される。
• 動的リスク測度 Rₜ(X) は、そのスカラライゼーションによって完全に特徴付けられる：Rₜ(X) = ⋂_{w∈Mₜ₊⁺\Mₜ⊥} {u∈Mₜ : ρₜ^w(X) ≤ wᵀu} ほとんど surely。
• すべての w ∈ Mₜ₊⁺\Mₜ⊥ に対して ρₜ^w が下半分連続であることは、Rₜ が閉集合的であることを意味し、ρₜ^w の条件付き凸性は、Rₜ が条件付き凸的かつ閉集合的であることを保証する。
• スカラライゼーションによる Rₜ(X) の双対表現により、特に集合値関数および可測選択子の文脈で、既存の凸解析における双対性結果を活用できる。