[論文レビュー] A Comparison of Two Topos-Theoretic Approaches to Quantum Theory

Sander Wolters|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 27被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、量子力学における2つのトポス的アプローチ、すなわち反変的アプローチ（Isham-Butterfield-Döring）と共変的アプローチ（Heunen-Landsman-Spitters）を比較する。反変的アプローチにおける閉じた開部分対象のヘイティング代数が、プレシェーブのトポスにおけるロケールを形成することを示し、共変的アプローチにおける内部ゲルファンドスペクトルと比較する。主な貢献は、共変的枠組みにおけるダイゼイニゼーションの新しい定義であり、スペクトル順序の下で両アプローチの真理値が等価であることを示している。

ABSTRACT

The aim of this paper is to compare the two topos-theoretic approaches to quantum mechanics that may be found in the literature to date. The first approach, which we will call the contravariant approach, was originally proposed by Isham and Butterfield, and was later extended by Doering and Isham. The second approach, which we will call the covariant approach, was developed by Heunen, Landsman and Spitters. Motivated by coarse-graining and the Kochen-Specker theorem, the contravariant approach uses the topos of presheaves on a specific context category, defined as the poset of commutative von Neumann subalgebras of some given von Neumann algebra. In particular, the approach uses the spectral presheaf. The intuitionistic logic of this approach is given by the (complete) Heyting algebra of closed open subob jects of the spectral presheaf. We show that this Heyting algebra is, in a natural way, a locale in the ambient topos, and compare this locale with the internal Gelfand spectrum of the covariant approach. In the covariant approach, a non-commutative C*-algebra (in the topos Set) defines a commutative C*-algebra internal to the topos of covariant functors from the context category to the category of sets. We give an explicit description of the internal Gelfand spectrum of this commutative C*-algebra, from which it follows that the external spectrum is spatial. Using the daseinisation of self-adjoint operators from the contravariant approach, we give a new definition of the daseinisation arrow in the covariant approach and compare it with the original version. States and state-proposition pairing in both approaches are compared. We also investigate the physical interpretation of the covariant approach.

研究の動機と目的

• 2つのトポス的量子力学アプローチ、すなわち反変的（Isham-Butterfield-Döring）と共変的（Heunen-Landsman-Spitters）アプローチの論理的構造を比較すること。
• 反変的アプローチにおける閉じた開部分対象のヘイティング代数と、共変的アプローチにおける内部ゲルファンドスペクトルとの関係を調査すること。
• 共変的枠組みにおいて、内部的に一貫したダイゼイニゼーションの新しい定義を提示し、反変的ダイゼイニゼーション写像と整合させること。
• 両アプローチにおける状態-命題ペairの真理値を比較し、知識の付与と性質の帰属という観点から、それらの物理的解釈を明確にすること。
• 内部言語とトポス的意味論の役割を検討し、両アプローチを統合するための形式的枠組みを提示し、今後の方向性を示唆すること。

提案手法

• 反変的トポス $[\nV(A)^{\text{op}}, \textbf{Set}]$ におけるスペクトルプレシェーブを構成し、その閉じた開部分対象を研究することでロケールを形成する。
• 開部分対象のロケールを表すために、コンテキスト圏 $\nV(A)$ 上の位相空間のバンドル $\nSigma^* \to \nV(A)$ を導入し、幾何的図像を提供する。
• 共変的トポス $[\nV(A), \textbf{Set}]$ 内部で可換 C*-代数の内部ゲルファンドスペクトルを分析し、それが空間的であることを示す。
• 共変的アプローチにおける基本的命題の2つのバージョン $[a\to(p,q)]_1$ と $[a\to(p,q)]_2$ を、内部的および外部的ダイゼイニゼーションを用いて定義する。
• スペクトル順序を用いて共変的アプローチにおけるダイゼイニゼーション写像を再解釈し、内部的に一貫した新しい定義を提供する。
• 両アプローチにおける状態-命題ペアの真理値を比較し、定理4.9によりスペクトル順序の下で等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反変的アプローチにおける閉じた開部分対象のヘイティング代数と、共変的アプローチにおける内部ゲルファンドスペクトルとの間には、どのような論理的関係があるか？
• RQ2 共変的アプローチにおけるダイゼイニゼーション写像は、反変的ダイゼイニゼーションと整合させつつ、内部的に一貫した形で再定義可能か？
• RQ3 共変的アプローチにおける真理値の物理的解釈は何か？それは知識の付与と性質の帰属という観点から、反変的アプローチの解釈とどのように異なるか？
• RQ4 内部言語 $[\nV(A), \textbf{Set}]$ は、粗粒度化の意味論を持つ反変的アプローチにおいて、どの程度意味的に意味を持つだろうか？
• RQ5 2つのアプローチを1つの形式的枠組みに統合することは可能か？その場合、コンテキストをまたいで粗粒度化と精錬の両方を可能にするか？

主な発見

• 反変的アプローチにおけるスペクトルプレシェーブの閉じた開部分対象のヘイティング代数は、トポス $[\nV(A)^{\text{op}}, \textbf{Set}]$ 内でロケールを形成する。
• 開部分対象のロケールは、バンドル $\nSigma^* \to \nV(A)$ によって表され、これはコンパクトではあるが一般には正則でない。
• 共変的アプローチにおける可換 C*-代数の内部ゲルファンドスペクトルは空間的である。これは、十分な点を持つロケールから生じることを意味する。
• 共変的アプローチにおける基本的命題の2つのバージョン $[a\to(p,q)]_1$ と $[a\to(p,q)]_2$ は、スペクトル順序の下で同一の真理値をとる。これは定理4.9で示されている。
• スペクトル順序に基づく新しいダイゼイニゼーションの定義は、内部的に一貫した構成を提供し、反変的ダイゼイニゼーション写像と整合する。
• 共変的アプローチにおける真理は、コンテキストにおける性質の知識に基づく検証として解釈されるが、反変的アプローチにおける真理は、系が実際にその性質を有していることを反映している。前者は、後者をコンテキストを跨いで強化したものである。