[論文レビュー] A comparison theorem for Finsler submanifolds and its applications

Wei Zhao|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、部分多様体の余接バンドルを用いて、ヘイントツェ＝カーチャー体積比較定理のフィンスラー版を確立し、フィンスラー多様体における閉測地線の長さおよび単射半径の下界を導出可能にする。主な貢献は、フラッグ曲率、T-曲率、体積形式を含む比較推定式であり、古典的なリーマン幾何学の結果を非リーマン的フィンスラー幾何学へと拡張し、グローバル幾何学および曲率の下界に応用可能である。

ABSTRACT

In this paper, we consider the conormal bundle over a submanifold in a Finsler manifold and establish a volume comparison theorem. As an application, we derive a lower estimate for length of closed geodesics in a Finsler manifold. In the reversible case, a lower bound of injective radius is also obtained.

研究の動機と目的

• 部分多様体の余接バンドルを分析することにより、リーマン幾何学におけるヘイントツェ＝カーチャー比較定理をフィンスラー幾何学へと拡張すること。
• フラッグ曲率およびT-曲率を用いて、フィンスラー多様体における体積比較推定式を導出すること。
• 閉フィンスラー多様体における閉測地線の長さの下界を確立すること。
• 同じ比較枠組みを用いて、可逆的フィンスラーの場合の単射半径の推定式を得ること。
• 曲率および一様定数の制約下での余接バンドルの幾何的挙動およびその体積の解析。

提案手法

• フィンスラー多様体における法コーンバンドル $\mathcal{V}N$ のレジェンドル変換像として、余接バンドル $\mathcal{V}^*N$ を定義する。
• 部分多様体の幾何を定量的に評価するため、余接方向 $\xi \in \mathcal{V}^*N \setminus 0$ 沿いの共平均曲率 $H_\xi$ を導入する。
• チェーン接続の非線形性を測定し、フィンスラー幾何学における曲率のずれを制御するため、T-曲率 $\mathbf{T}$ を用いる。
• 方程式 $y'' + \delta y = 0$ の解 $\mathfrak{s}_\delta(t)$ および共平均曲率 $H_{\xi_0}$ を含む体積比較不等式を導出する。
• 一様定数 $\Lambda_F$ を用いて、異なる計量間の体積歪みを制御し、余接バンドル体積を制御する。
• ホルムズ＝トンプソンおよびブースマン＝オーストラリア体積形式を用いて、非リーマン的状況への一般化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余接バンドルを用いて、フィンスラー多様体におけるヘイントツェ＝カーチャー型体積比較定理を拡張することは可能か？
• RQ2 T-曲率は、フィンスラー幾何学における体積成長および測地線長の推定にどのように影響を与えるか？
• RQ3 フィンスラー多様体において、曲率および直径の制約下で、閉測地線の長さにどのような下界を導出できるか？
• RQ4 可逆的フィンスラー多様体における単射半径は、曲率および体積とどのように関係するか？
• RQ5 一様定数 $\Lambda_F$ は、余接バンドルにおける体積歪みを制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• フラッグ曲率 $\mathbf{K} \geq \delta$、直径 $d$、体積 $\mu(M)$ を持つ閉フィンスラー $m$-多様体について、体積は $\mathfrak{s}_\delta(t)$ および共平均曲率 $H_{\xi_0}$ を含む積分によって上界で抑えられる。
• $k=0$ の場合、体積の上界は $\mu(M) \leq \int_{S_xM} e^{-\tau(\dot{\gamma}_y(t))} d\nu_x(y) \int_0^d \mathfrak{s}_\delta^{m-1}(t) dt$ に簡略化され、リーマンの場合に一般化される。
• $k \geq 1$ の場合、体積は $\mu(M) \leq c_{m-k-1} \cdot \Lambda_F^{(3m+k)/2} \cdot \bar{\mu}(N) \cdot \int_0^{\min\{d, \zeta(\xi_0)\}} \left(\mathfrak{s}'_\delta - \frac{H_{\xi_0}}{k}\mathfrak{s}_\delta\right)^k(t) \cdot \mathfrak{s}_\delta^{m-k-1}(t) dt$ を満たし、曲率および平均曲率を組み込む。
• 任意の閉測地線 $\gamma$ の長さについて、$L_g(\gamma) \geq \frac{(m-1)V}{c_{m-2} \mathfrak{s}_\delta^{m-1}(\min\{d, \pi/(2\sqrt{\delta})\})}$ という下界が導出され、リーマンの場合に拡張される。
• 可逆的ケースでは、同じ比較枠組みを用いて単射半径の下界が得られ、トポノゴフの定理を避けることができる。
• ランダース計量 $F = \alpha + \beta$ の場合、余接バンドル体積は $c_{m-k-1} \cdot (1 - b(x))^{-(m-k+1)/2}$ で抑えられる。ここで $b(x) = \|\beta\|_\alpha(x)$ である。