[論文レビュー] A compatible embedded-hybridized discontinuous Galerkin method for the Stokes--Darcy-transport problem

Ayçıl Çeşmeli̇oğlu, Sander Rhebergen|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 42被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、連成 Stokes–Darcy–輸送問題に対して、質量保存性を有する EDG-HDG 離散化による流れと、埋め込み DG 法による輸送を組み合わせた、適合性を有する埋め込みハイブリッド型不連続ガラーキン（EDG-HDG）法を提示する。主な貢献は、半離散輸送問題の安定性、適切に定義された解の存在および最適収束率の証明であり、数値結果により、適合性を持つ手法が、適合性のないスキームに見られる不自然な振動を排除することを示している。

ABSTRACT

We present a stability and error analysis of an embedded-hybridized discontinuous Galerkin (EDG-HDG) finite element method for coupled Stokes--Darcy flow and transport. The flow problem, governed by the Stokes--Darcy equations, is discretized by a recently introduced exactly mass conserving EDG-HDG method while an embedded discontinuous Galerkin (EDG) method is used to discretize the transport equation. We show that the coupled flow and transport discretization is compatible and stable. Furthermore, we show existence and uniqueness of the semi-discrete transport problem and develop optimal a priori error estimates. We provide numerical examples illustrating the theoretical results. In particular, we compare the compatible EDG-HDG discretization to a discretization of the coupled Stokes--Darcy and transport problem that is not compatible. We demonstrate that where the incompatible discretization may result in spurious oscillations in the solution to the transport problem, the compatible discretization is free of oscillations. An additional numerical example with realistic parameters is also presented.

研究の動機と目的

• マルチフィジックス流れにおける連成 Stokes–Darcy–輸送問題のための安定的かつ適合性を持つ数値離散化を開発すること。
• 流れと輸送の離散化が適合しないことによって生じる輸送解における不自然な振動の問題に対処すること。
• 連成流れ-輸送系における精度と安定性を満たすために必要な、離散レベルにおける全保存性および零次精度を保証すること。
• 半離散輸送問題の解の存在、一意性および最適誤差推定を証明すること。

提案手法

• 流れの Stokes–Darcy 問題を、正確に質量保存性を持つ埋め込みハイブリッド型不連続ガラーキン（EDG-HDG）法で離散化する。
• 輸送方程式に対しては、計算効率を高めるために埋め込み不連続ガラーキン（EDG）法を用いる。
• 自由流れ領域と多孔質媒体領域の界面におけるベイヴァーズ＝ジョセフ＝サフマン条件を含む界面条件を実装する。
• 離散的全保存性および輸送方程式の零次精度を保証する適合性のある結合戦略を採用する。
• 半離散輸送スキームに対して最適な事前誤差推定を適用し、理論的期待と一致する収束率が得られることを証明する。
• 理論的結果の妥当性を検証し、適合性のない離散化と比較するため、現実的なパラメータを用いた数値例を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された EDG-HDG/EDG 離散化は、離散レベルにおいて Stokes–Darcy 流れと輸送方程式の間に適合性を確保するか？
• RQ2 適合性のある離散化は、適合性のないスキームで生じる輸送解における不自然な振動を防止できるか？
• RQ3 提案された適合性のあるフレームワーク下で、半離散輸送問題の最適収束率は何か？
• RQ4 適合性のある手法は、現実的な河川／地下水流れおよび汚染物質輸送シナリオにおいて、どのように性能を発揮するか？

主な発見

• 適合性のある EDG-HDG/EDG 離散化は、全保存性および零次精度を保証し、輸送解における不自然な振動を防止する。
• 離散的輸送問題は適切に定義されており、解の存在および一意性が確立されている。
• 半離散輸送スキームに対して最適な事前誤差推定が導出され、最適収束率が確認された。
• 数値実験では、適合性のある手法が定数解を機械精度（∥1−ch∥Ω=1.5×10−13）で保持する一方、適合性のないスキームでは誤差が 2.4×10−4 に達し、失敗することが示された。
• 不均一な透水率を有する現実的なテストケースでは、表面水中の汚染物質プラークはコンact に保たれるが、多孔質媒体内では広がることが観察され、物理的期待と整合的である。
• 本手法は、汚染物質輸送の表面流れから地下流れへの移行を的確に捉え、複雑で不均一な領域においても、頑健性と精度を示した。