[論文レビュー] A complete anytime algorithm for balanced number partitioning

Stephan Mertens|ArXiv.org|Mar 11, 1999

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、バランスド・ナンバーパーティショニング問題の完全かつ任意時刻で最適化可能なアルゴリズムを提示する。これは、バランスド・ラージェスト・ディファレンシング法（BLDM）とCorfの完全なカーマルカール＝カープアルゴリズムを組み合わせたものである。まずBLDMの解を返し、段階的に改善を続ける。実用上、12桁の有効数字までのインスタンスを最適に解けるが、より高精度の数値に対しても、時間の経過とともに解を改善し続ける。

ABSTRACT

Given a set of numbers, the balanced partioning problem is to divide them into two subsets, so that the sum of the numbers in each subset are as nearly equal as possible, subject to the constraint that the cardinalities of the subsets be within one of each other. We combine the balanced largest differencing method (BLDM) and Korf's complete Karmarkar-Karp algorithm to get a new algorithm that optimally solves the balanced partitioning problem. For numbers with twelve significant digits or less, the algorithm can optimally solve balanced partioning problems of arbitrary size in practice. For numbers with greater precision, it first returns the BLDM solution, then continues to find better solutions as time allows.

研究の動機と目的

• 数値を2つのサブセットに分割し、合計がほぼ等しく、要素数もほぼ等しくなるようにするバランスド・ナンバーパーティショニング問題を扱う。
• 最適解を保証する完全性（complete）と、時間の経過とともに解を改善する任意時刻性（anytime）を両立するアルゴリズムを開発する。
• 初期段階で優れたヒューリスティック解を返し、段階的に改善を続けることで、高精度の数値に対しても効果的に対処する。
• BLDMの効率性とカーマルカール＝カープアルゴリズムの最適性を組み合わせ、優れた性能を実現する。

提案手法

• 初期ヒューリスティックとしてバランスド・ラージェスト・ディファレンシング法（BLDM）を統合し、迅速に実行可能な解を生成する。
• Korfの完全なカーマルカール＝カープアルゴリズムを用いて、解空間を体系的に探索し、最適性を保証する。
• 部分的分割の優先度キューを維持し、サブセット合計の差が最小となるものを優先順位に設定する。
• カーマルカール＝カープの差分技術を再帰的に適用し、問題のサイズを縮小し、解の品質を向上させる。
• 初期のBLDM出力からさらに解を精錬し、特に高精度の入力に対して継続的に改善を続ける。
• BLDMが高速な出発点を提供し、カーマルカール＝カープが完全性と最適性を保証するハイブリッド戦略を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バランスド・ナンバーパーティショニング問題に対して、最適性を保証するとともに、時間の経過とともに解を改善する完全かつ任意時刻で最適化可能なアルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 BLDMの効率性とカーマルカール＝カープアルゴリズムの完全性をどのように組み合わせ、大規模なインスタンスを効果的に解けるか？
• RQ3 このようなハイブリッドアルゴリズムの性能限界は、12桁の有効数字までの数値に対してどの程度か？
• RQ4 最適解の計算が難しい高精度の入力に対して、アルゴリズムはどのように振る舞うか？
• RQ5 任意時刻の精錬プロセスにおいて、解の品質と計算時間のトレードオフはどのようなものか？

主な発見

• 本アルゴリズムは、実用上、12桁の有効数字までのバランスド・パーティショニング問題を最適に解ける。
• より高い精度の入力に対しては、初期段階でBLDMの解を返し、その後も継続的に改善を続ける。
• BLDMとカーマルカール＝カープの組み合わせにより、初期段階の高速性と最終的な最適性の両方を実現する。
• アルゴリズムは完全であるため、入力サイズや精度にかかわらず、最終的に最適解に到達する。
• 任意時刻性により、ユーザーはいつでも計算を停止し、これまでに得られた最良の解を受け取ることができる。
• 本手法は、解の品質と計算負荷のバランスを効果的にとらせており、時間制約が異なる実世界の応用に適している。