[論文レビュー] A Complete Characterization of Complete Intersection-Type Theories

Mariangiola Dezani-Ciancaglini, Furio Honsell+1 more|ArXiv.org|Nov 23, 2000

Logic, programming, and type systems参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、推論、単純、F-意味論の3つの代表的な集合論的意味論におけるλ計算の完全な型割り当て系をもたらす交差型理論の完全な特徴付けを提供する。型上の順序関係 ≤ に対する閉包条件を導入し、型判断を直接分析することなく完全性の検証を容易にする。また、λ-モデルに限らない任意のλ適用的構造へと先行する結果を一般化する。

ABSTRACT

We characterize those intersection-type theories which yield complete intersection-type assignment systems for lambda-calculi, with respect to the three canonical set-theoretical semantics for intersection-types: the inference semantics, the simple semantics and the F-semantics. These semantics arise by taking as interpretation of types subsets of applicative structures, as interpretation of the intersection constructor set-theoretic inclusion, and by taking the interpretation of the arrow constructor a' la Scott, with respect to either any possible functionality set, or the largest one, or the least one. These results strengthen and generalize significantly all earlier results in the literature, to our knowledge, in at least three respects. First of all the inference semantics had not been considered before. Secondly, the characterizations are all given just in terms of simple closure conditions on the preorder relation on the types, rather than on the typing judgments themselves. The task of checking the condition is made therefore considerably more tractable. Lastly, we do not restrict attention just to lambda-models, but to arbitrary applicative structures which admit an interpretation function. Thus we allow also for the treatment of models of restricted lambda-calculi. Nevertheless the characterizations we give can be tailored just to the case of lambda-models.

研究の動機と目的

• 3つの代表的な集合論的意味論（推論、単純、F-意味論）におけるλ計算の完全な型割り当て系をもたらす交差型理論を特徴付けること。
• λ-モデルにとどまらず、任意のλ適用的構造へと完全性の結果を一般化し、コール・バイ・バリューなどの制限付き計算体系の取り扱いを可能にすること。
• 型判断に基づく条件よりも扱いやすい、文法的かつ順序関係に基づく完全性の基準を提示すること。
• これまでこの文脈で検討されていなかった交差型の推論意味論を導入し、分析すること。
• 3つの意味論を統一的に扱い、単純な ≤ における閉包条件を用いて、すべての意味論において一様な特徴付けを提供することで、先行する完全性の結果を強化すること。

提案手法

• 交差型の3つの代表的意味論を定義する：推論（任意の機能的集合）、単純（すべての機能的集合）、F-意味論（唯一の標準的関数代表元のみ）。
• 型を適用的構造の部分集合として解釈し、∩ を集合の共通部分として、→ を論理的述語によるスコット風関数空間として扱う。
• 型の順序関係 ≤ における閉包条件を用いて完全性を特徴付けることで、型判断に直接依存しない、検証を簡略化する。
• 順序関係 ≤ を用いて、各意味論に関して型理論が健全かつ完全であるための必要十分条件を導出する。
• 解釈関数の存在を仮定するだけでよいことから、λ-モデルから任意のλ適用的構造へと結果を一般化する。
• 特徴付けを適用して、単純およびF-意味論における完全性が、それらの商化版に対しても完全性をもたらすことを示し、類似の推論により多相型へと拡張可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの交差型理論が推論意味論において完全な型割り当て系をもたらすか？
• RQ2 型判断ではなく、順序関係 ≤ における閉包条件として、完全性をどのように文法的に特徴付けることができるか？
• RQ3 λ-モデルに限らない任意のλ適用的構造の文脈において、F-意味論の完全性を保証する条件は何か？
• RQ4 推論、単純、F-意味論という3つの代表的意味論は、完全性の観点でどのように関係しているか？また、2つの意味論で完全性が成立すれば、第3の意味論でも完全性が成立するか？
• RQ5 この特徴付けは、多相型および交差型体系へと拡張可能か？また、この文脈においてイングルンの規則は果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、これまで研究がほとんどなかった推論意味論における完全な交差型理論の完全な特徴付けを提供する。
• 完全性は、型の順序関係 ≤ における単純な閉包条件によって完全に特徴付けられており、従来の判断に基づくアプローチよりも検証がはるかに容易になる。
• 特徴付けは、推論、単純、F-意味論の3つの意味論に一様に適用可能であり、それぞれが ≤ に対して異なるが明確に定義された閉包性質を要請する。
• 先行研究を一般化し、λ-モデルから任意のλ適用的構造へと結果を拡張することで、コール・バイ・バリューなどの制限付きλ計算のモデルをカバーする。
• F-意味論における完全性条件が、イングルンの規則の許容可能性および Ω≁Ω→Ω の非導出可能性と同値であることが示され、以前の予想が裏付けられる。
• 単純およびF-意味論における完全性は、それらの商化版に対しても完全性をもたらすことが示され、類似の閉包原理を用いて多相型の型体系へと拡張可能である。