[論文レビュー] A complete degeneration of the moduli of $G$-bundles on a curve

Pablo Solis|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ノード付き曲線に退化する1パラメータ族の曲線上の $G$-バンドルのモジュライスタックの完全コン pact化を、ねじれた曲線とループ群埋め込みを用いて構成する。主な貢献は、アフィンワイルアラコイ内に位置するコアキシオの構造によって定まる等変構造を伴うギーゼッカー型退化を用いて、完全性の値関数的条件を満たすモジュラー完成を達成することにある。

ABSTRACT

For a semi simple group G it is known the moduli stack of principal G-bundles over a fixed nodal curve is not complete. Finding a completion requires compactifying the group G. However it was shown in [34] that this is not sufficient to complete the moduli stack over a family of curves. In this paper I describe how to use an embedding of the loop group LG to provide a completion of the stack of G-bundles over a one dimensional family of curves degenerating to a nodal curve. The completion comes with a modular interpretation inspired by the work of Gieseker, Seshadri, Kausz and Thaddeus and Martens.

研究の動機と目的

• 曲線族がノード付き曲線に退化する際の $G$-バンドルのモジュライスタック $\mathcal{M}_G(C)$ の非完全性を解消すること。
• $GL_r$-バンドルに対するギーゼッカー型コンパクト化のアプローチを、任意の simply connected simple 群 $G$ に拡張すること。
• 完全性の値関数的条件を満たすモジュライスタック $\mathcal{X}_G(C_S)$ を構成すること。
• ねじれた変形とループ群上の等変構造を用いたコンパクト化のモジュラー解釈を提供すること。
• $\mathcal{M}_{GL_r}$ および $\mathcal{M}_{\mathbb{C}^\times}$ に関する先行結果を、単一の枠組みで任意の半単純 $G$ に一般化すること。

提案手法

• 曲線族 $C_S$ がノード付き曲線に退化する際のねじれた変形上の $G$-バンドルをパラメトライズするモジュライスタック $\mathcal{X}_G(C_S)$ を定義する。
• ノードの特別ファイバーにおける等変構造を記述するために、ループ群 $LG$ 及びそのパラボリック部分群を用いる。
• 特異点を解消するため、全空間の繰り返しのブローモーク $D'^{1/k}_S$ を用いてねじれた曲線を構成する。
• ループ群のブルアット分解を用いて移行写像を因数分解し、 $\operatorname{Spec}K'$ から $\operatorname{Spec}R'$ へのモルフィズムを上げる。
• $L_{poly}G \times L_{poly}G$ 内のパラボリック部分群のレヴィ分解を用いて、構造群をレヴィ成分に還元する。
• 基底変換および自明化技術を適用し、 $L_{poly}G/\mathcal{P}^{-}_I \times L_{poly}G/\mathcal{P}_I$ のインダクティブ・プロジェクト型フラッグ多様体への写像を上げ、拡張の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線族がノード付き曲線に退化する際の $G$-バンドルのモジュライスタックは、モジュラーな方法で完成可能か？
• RQ2 $GL_r$-バンドルに対するギーゼッカー型退化は、任意の simply connected simple 群 $G$ にどのように一般化可能か？
• RQ3 ねじれた曲線におけるループ群埋め込みと等変構造は、完全性の達成にどのような役割を果たすか？
• RQ4 退化する曲線上の $G$-バンドルのコンパクト化されたモジュライスタックは、値関数的条件を満たすか？
• RQ5 トーショントルス・フリーな層や $G$ の非標準的埋め込みに依存せずに、完成を構成可能か？

主な発見

• モジュライスタック $\mathcal{X}_G(C_S)$ は、完全性の値関数的条件を満たしており、任意の穴あきディスクからスタックへの写像が有限の基底変換の後で拡張可能であることを保証する。
• 完成は、アフィンワイルアラコイ内に位置するコアキシオによって定まる等変 $G$-バンドルを導入することで達成される。
• この構成は、カウズの $GL_r$-バンドル退化およびマルテンス＝タッデウスの $\mathbb{C}^\times$-バンドルに関する研究を、任意の単純 simply connected $G$ に一般化する。
• 主な技術的ステップは、 $\phi \in H/H_1((s))$ を $H((s^{1/m}))$ に上げ、 $\phi' = \phi'' \psi$ と因数分解し、 $\phi'' \in H[[s^{1/m}]]$ および $\psi \in H_2((s^{1/m}))$ とすることであり、これにより特別ファイバーへの拡張が可能になる。
• $\mathcal{X}_G(C_S)$ の最終対象は、 $\psi$ をそのレヴィ成分 $\psi_L$ に還元し、 $L_I((s^{1/m})) \times L_I((s^{1/m}))$ に属させ、ブルアット分解を用いてアラコイ内に位置するコアキシオ $\eta'$ を特定することで構成される。
• インデックス集合 $I = \{0, \dots, r\}$ に達した時点で退化は停止し、フラッグ多様体写像が同型になることが確認され、一意に定義された拡張の存在が裏付けられる。