[論文レビュー] A complete Heyting algebra whose Scott space is non-sober

Xiaoquan Xu, Xiaoyong Xi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、位相空間の空でない飽和コンパクト部分集合の集合における逆包含順序に関して、スコット位相が非ソーブである完全ヘイティング代数を構成することにより、長年の未解決問題を解決した。非ソーブなT₀空間の上位空間がこの構成においても非ソーブのままであることを証明し、アイズベルの非ソーブな完全ラティスの例を応用することで、スコット位相が非ソーブである完全ヘイティング代数の存在を確立した。これにより、ジュングが提起した疑問に肯定的な答えを与えた。

ABSTRACT

We prove that (1) for any complete lattice $L$, the set $\mathcal{D}(L)$ of all nonempty saturated compact subsets of the Scott space of $L$ is a complete Heyting algebra (with the reverse inclusion order); and (2) if the Scott space of a complete lattice $L$ is non-sober, then the Scott space of $\mathcal{D}(L)$ is non-sober. Using these results and the Isbell's example of a non-sober complete lattice, we deduce that there is a complete Heyting algebra whose Scott space is non-sober, thus give a positive answer to a problem posed by Jung. We will also prove that a $T_0$ space is well-filtered iff its upper space (the set $\mathcal{D}(X)$ of all nonempty saturated compact subsets of $X$ equipped with the upper Vietoris topology) is well-filtered, which answers another open problem.

研究の動機と目的

• 分配的完全ラティスのうち、スコット位相が非ソーブであるものが存在するかどうかというジュングの未解決問題を解決すること。
• 位相空間の空でない飽和コンパクト部分集合の集合が逆包含順序に関して完全ヘイティング代数をなすことの確立。
• T₀空間が非ソーブであるならば、その上位空間のスコット位相も非ソーブであることを証明すること。
• 空間のwell-filterednessがその上位空間のwell-filterednessと同値であるかどうかという未解決問題に答えること。

提案手法

• T₀空間Xの上位空間D(X)を、Xの空でない飽和コンパクト部分集合の集合とし、上位ビエトリス位相を備える。
• 任意の完全ラティスLに対し、Lのスコット位相ΣLの空でない飽和コンパクト部分集合の集合D(ΣL)が、逆包含順序に関して完全ヘイティング代数をなすことの証明。
• 完全ラティスLのスコット位相が非ソーブであるならば、D(L)のスコット位相も非ソーブであることを証明。
• アイズベルの非ソーブな完全ラティスの例を用いて、スコット位相が非ソーブである完全ヘイティング代数を構成。
• well-filterednessの特徴づけを上位空間の観点から確立：T₀空間Xがwell-filteredであることは、その上位空間D(X)がwell-filteredであることと同値である。
• 上位ビエトリス位相における既約集合、フィルター族、コンパクト性の性質を活用し、well-filterednessと上位空間のwell-filterednessの同値性を証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スコット位相が非ソーブである完全ヘイティング代数は存在するか？
• RQ2 上位空間の構成は、元の空間から上位空間への非ソーブ性を保存するか？
• RQ3 T₀空間のwell-filterednessは、その上位空間のwell-filterednessと同値か？
• RQ4 スコット位相の空でない飽和コンパクト部分集合の集合が、完全ヘイティング代数をなすか？
• RQ5 空間のソーブ性とその上位空間のソーブ性の関係は何か？

主な発見

• スコット位相が非ソーブである完全ヘイティング代数が存在し、これによりジュングの未解決問題に肯定的な答えが得られた。
• 任意の完全ラティスLに対し、Lのスコット位相ΣLの空でない飽和コンパクト部分集合の集合D(ΣL)は、逆包含順序に関して完全ヘイティング代数をなす。
• 完全ラティスLのスコット位相が非ソーブであるならば、D(L)のスコット位相も非ソーブである。
• T₀空間Xがwell-filteredであることと、その上位空間D(X)がwell-filteredであることは同値であり、ドメイン理論における未解決問題を解決した。
• この構成は非ソーブ性を保存する：Xが非ソーブであるならば、D(X)も非ソーブである。この性質を用いて、完全ヘイティング代数から非ソーブなスコット位相を生成した。
• T₀空間Xの上位空間D(X)がwell-filteredであることと、Xがwell-filteredであることは同値であり、完全な特徴づけが確立された。