[論文レビュー] A completely monotonic function involving the gamma and tri-gamma functions

Feng Qi|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 47被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、関数 $ f_a(x) = \frac{1}{2}\ln(2\pi) - x + \left(x - \frac{1}{2}\right)\ln x - \ln\Gamma(x) + \frac{1}{12}\psi'(x+a) $ が $ (0,\infty) $ で完全単調であるための $ a \geq 0 $ における必要十分条件を確立する。$ f_0(x) $ および $ a \geq \frac{1}{2} $ のときの $ -f_a(x) $ が完全単調であることを証明し、積分表現と単調性解析を用いてガンマ関数およびトリ・ガンマ関数に関する新たな不等式を導出する。

ABSTRACT

In the paper the author provides necessary and sufficient conditions on $a$ for the function $\frac{1}{2}\ln(2π)-x+\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)\ln x-\lnΓ(x)+\frac1{12}{ψ'(x+a)}$ and its negative to be completely monotonic on $(0,\infty)$, where $a\ge0$ is a real number, $Γ(x)$ is the classical gamma function, and $ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$ is the di-gamma function. As applications, some known results and new inequalities are derived.

研究の動機と目的

• 関数 $ F_a(x) $ の凸性に関する結果を、ガンマ関数およびトリ・ガンマ関数を含む関連関数の完全単調性へ一般化すること。
• $ f_a(x) $ あるいはその負の関数が $ (0,\infty) $ で完全単調であるような $ a \geq 0 $ の正確な範囲を特定すること。
• $ f_a(x) $ の完全単調性とその積分表現を用いて、ガンマ関数に関する新たな不等式を導出すること。
• 特殊関数論における単調性および不等式に関する先行研究を強化・拡張すること。

提案手法

• パラメータ $ a $ を含む対数関数、ガンマ関数、およびトリ・ガンマ関数の組み合わせとして $ f_a(x) $ を定義する。
• 単調性の解析に向け、差 $ f_a(x) - f_a(x+1) $ 及びその導関数を用いる。
• 導関数 $ [f_a(x) - f_a(x+1)]' $ を積分形 $ \int_0^\infty \phi_a(t) e^{-xt} dt $ として表現し、Bernstein-Widderの定理を適用する。
• 級数展開と不等式を用いて、$ a = 0 $ および $ a = \frac{1}{2} $ のときの核関数 $ \phi_a(t) $ の符号を分析する。
• 無限遠における $ f_a^{(k)}(x) $ の挙動を活用し、$ f_a(x) $ の導関数についての帰納法により完全単調性を確立する。
• $ f_0(x) $ および $ a \geq \frac{1}{2} $ のときの $ -f_a(x) $ について、積分表現を導出し、完全単調性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ a \geq 0 $ のどの値に対して関数 $ f_a(x) $ が $ (0,\infty) $ で完全単調であるか。
• RQ2 $ -f_a(x) $ が $ (0,\infty) $ で完全単調であるための $ a $ に関する必要十分条件は何か。
• RQ3 $ f_a(x) $ の完全単調性がガンマ関数に関する新たな不等式をどのように導くか。
• RQ4 $ f_a(x) $ の完全単調性を用いて、ガンマ関数およびポリ・ガンマ関数に関する既知の結果を一般化または強化できるか。
• RQ5 $ f_a(x) $ の完全単調性と、関連するガンマ関数比の対数的完全単調性との関係は何か。

主な発見

• $ f_0(x) $ は $ (0,\infty) $ で完全単調であり、その導関数の差 $ f_0'(x+1) - f_0'(x) $ も完全単調である。
• $ a \geq \frac{1}{2} $ のとき、$ -f_a(x) $ は $ (0,\infty) $ で完全単調であり、$ f_a'(x) - f_a'(x+1) $ も完全単調である。
• 核関数 $ \phi_0(t) $ は負であり、$ \phi_{1/2}(t) $ は正である。これは完全単調性に必要な符号の挙動を確認するものである。
• 関数 $ f_a(x) $ は積分表現 $ \int_0^\infty \phi_a(t) e^{-xt} dt $ を持つ。これは Bernstein-Widder の定理により完全単調性の確認を可能にする。
• 二重不等式 $ \sqrt{2\pi}\,x^{x-1/2}\exp\left(\frac{\psi'(x+\beta)}{12} - x\right) < \Gamma(x) < \sqrt{2\pi}\,x^{x-1/2}\exp\left(\frac{\psi'(x+\alpha)}{12} - x\right) $ が成り立つのは、$ \alpha = 0 $ かつ $ \beta \geq \frac{1}{2} $ のときに限る。
• 比 $ \frac{\Gamma(x+s)}{\Gamma(x+t)} \cdot \frac{(x+t)^{x+t-1/2}}{(x+s)^{x+s-1/2}} \exp\left[ s-t + \frac{\psi'(x+t+\alpha) - \psi'(x+s+\alpha)}{12} \right] $ は、$ (-s,\infty) $ で対数的完全単調である。この条件は $ \alpha \geq \frac{1}{2} $ のときに限り成り立つ。