[論文レビュー] A composition theorem for bisimulation functions

Antoine Girard|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2013

Formal Methods in Verification参考文献 8被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、相互接続された力学的システムにおける双模倣関数の構成的合成定理を提示し、部分系レベルの関数から双模倣関数をモジュラーに計算可能にする。小さな利得条件（$\gamma_1\gamma_2 / \lambda_1\lambda_2 < 1$）を満たすことにより、重み付き和を用いて個々の双模倣関数を組み合わせ、合成関数が全体系における双模倣の定量的評価に必要な無限小減少条件を満たすことを保証する。

ABSTRACT

The standard engineering approach to modelling of complex systems is highly compositional. In order to be able to understand (or to control) the behavior of a complex dynamical systems, it is often desirable, if not necessary, to view this system as an interconnection of smaller interacting subsystems, each of these subsystems having its own functionalities. In this paper, we propose a compositional approach to the computation of bisimulation functions for dynamical systems. Bisimulation functions are quantitative generalizations of the classical bisimulation relations. They have been shown useful for simulation-based verification or for the computation of approximate symbolic abstractions of dynamical systems. In this technical note, we present a constructive result for the composition of bisimulation functions. For a complex dynamical system consisting of several interconnected subsystems, it allows us to compute a bisimulation function from the knowledge of a bisimulation function for each of the subsystem.

研究の動機と目的

• 複雑な力学的システムである相互接続された部分系から成るシステムにおける双模倣関数を計算するための合成的手法を開発すること。
• 双模倣関数—双模倣関係の定量的アナログ—を、シミュレーションベースの検証および力学的システムの近似抽象化に応用することを拡張すること。
• 部分系の双模倣関数を組み合わせて全体系の有効な双模倣関数を得るための十分条件を確立すること。
• 安定性解析におけるラプラシアンに基づく小さな利得定理に類似した枠組みを提供し、双模倣関数の合成的フレームワークを構築すること。

提案手法

• 本稿は、複雑なシステムを2つの部分系の相互接続としてモデル化し、各部分系は内部状態、外部入力、および他方の部分系の状態から導かれる結合信号を有する。
• 合成双模倣関数 $V(x,x')$ を、個々の双模倣関数 $V_1$ と $V_2$ の重み付き和として定義し、重みを $\alpha_1$ と $\alpha_2$ とする。
• 合成関数が無限小減少性を満たすための十分条件を導出する：$\frac{=partial V}{\partial x}f(x,u) + \frac{\partial V}{\partial x'}f(x',u') \leq -\lambda V(x,x') + \gamma \|u - u'\|$。
• 有効な重み $\alpha_1 \geq 1$, $\alpha_2 \geq 1$ が満たすべき不等式を満たすために必要な十分条件として、小さな利得条件 $\gamma_1\gamma_2 / \lambda_1\lambda_2 < 1$ を導入する。
• 再帰的適用により、複数の部分系への一般化が行われ、妥当な重み選択を示す明示的な幾何的配置が提示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互接続された力学的システムの双模倣関数は、個々の部分系の双模倣関数から構成可能か？
• RQ2 合成関数が有効な双模倣関数のまま保たれるために満たすべき条件は何か？
• RQ3 重み $\alpha_1$ と $\alpha_2$ はどのように選べば、小さな利得条件を満たし、合成関数の無限小減少性を保証できるか？
• RQ4 このような合成のための必要十分条件は存在するか？その形は何か？

主な発見

• 重み $\alpha_1 \geq 1$, $\alpha_2 \geq 1$, $\alpha_1\lambda_1 - \alpha_2\gamma_2 > 0$, および $\alpha_2\lambda_2 - \alpha_1\gamma_1 > 0$ を満たす場合、合成双模倣関数 $V(x,x') = \alpha_1 V_1(x_1,x_1') + \alpha_2 V_2(x_2,x_2')$ は、必要な無限小減少条件を満たす。
• 小さな利得条件 $\gamma_1\gamma_2 / \lambda_1\lambda_2 < 1$ は、このような重み $\alpha_1$ と $\alpha_2$ の存在にとって必要かつ十分である。
• 合成関数の減少率は $\lambda = \min\left(\frac{\alpha_1\lambda_1 - \alpha_2\gamma_2}{\alpha_1}, \frac{\alpha_2\lambda_2 - \alpha_1\gamma_1}{\alpha_2}\right)$、摂動利得は $\gamma = \alpha_1\gamma_1 + \alpha_2\gamma_2$ となる。
• 本手法は構成的である：部分系の有効な双模倣関数が与えられれば、導出された重み選択ルールに従って合成関数を明示的に構築可能である。
• 本手法は、ラプラシアンに基づく小さな利得定理を双模倣関数の文脈に一般化し、力学的システムの合成的解析を可能にする。