[論文レビュー] A Composition Theorem for Conical Juntas

Jain, Rahul, Lee, Troy+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、古典的通信複雑性およびクエリ複雑性のための新しい線形計画法に基づく下界手法である、パブリックコイン分割境界を導入する。この境界の対数が2次的にタイトであることを証明している：パブリックコイン確率的通信およびクエリ複雑性を下界で抑え、その平方が複雑性を上界で抑え、すべての関係についてこのタイトさを達成する最初の既知の境界である。

ABSTRACT

In this work we introduce, both for classical communication complexity and query complexity, a modification of the 'partition bound' introduced by Jain and Klauck [2010]. We call it the 'public-coin partition bound'. We show that (the logarithm to the base two of) its communication complexity and query complexity versions form, for all relations, a quadratically tight lower bound on the public-coin randomized communication complexity and randomized query complexity respectively.

研究の動機と目的

• 通信およびクエリ複雑性における分割境界のタイトさがどの程度かという未解決の問いに答えること。
• パブリックコイン確率的を組み込んだ、分割境界の新しい変種を開発し、その強度と適用範囲を向上させること。
• 新しい境界が2次的にタイトであることを確立すること、すなわち、その対数が下界であり、その平方が上界であることを示すこと。
• 線形計画法を用いて、通信およびクエリ複雑性における既存の下界技法を統合・強化すること。

提案手法

• パブリックコイン分割境界を、入力空間の部分集合（長方形または割り当て）への分割をモデル化する線形計画問題として定義する。各部分集合には出力と確率が関連付けられる。
• 主問題において、変数 wz,R は、入力 (x,y) が長方形 R 内にある場合に出力 z を出力する確率を表し、各入力に対してすべての長方形にわたる合計が 1 に等しくなるように制約される。
• 各分割 P に確率分布 aP を導入する。ここで wz,R は、(z,R) を含むすべての分割 P における aP の和として定義され、プロトコルの出力分布と整合性を持つように保証される。
• 線形計画問題の双対形を用いて、重み µx,y, φx,y、および補助変数 vz,R を用いた最大化問題を導出し、複雑性を上界で抑える。
• 主問題の最適値の対数が、パブリックコイン確率的通信およびクエリ複雑性の下界であることを証明する。
• 分割をサンプリングし、通信またはクエリコストを有界に保ちながらそれをシミュレートするプロトコルを構築することで、最適値の対数の平方が複雑性を上界で抑えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パブリックコイン確率的通信複雑性において、分割境界は2次的にタイトか？
• RQ2 パブリックコイン確率的を捉え、タイトさを達成するように変更された分割境界を構築できるか？
• RQ3 新しい境界は、すべての関係について、元の分割境界よりも厳密に強いか？
• RQ4 新しい境界を用いて、通信およびクエリ複雑性の両方のタイトな上界と下界を同時に確立できるか？

主な発見

• パブリックコイン分割境界の対数は、任意の関係についてパブリックコイン確率的通信複雑性の下界である。
• パブリックコイン分割境界の対数の平方は、パブリックコイン確率的通信複雑性を上界で抑える。これにより、2次的タイトさが確立される。
• 通信およびクエリ複雑性の両方において、パブリックコイン分割境界はすべての関係について、元の分割境界よりも厳密に強い。
• クエリ複雑性において、この境界の対数は確率的クエリ複雑性の下界であり、その平方は複雑性を上界で抑える。
• この境界は2次的にタイトである：任意の関係について、パブリックコイン複雑性は log₂(pprtε(f)) と (log₂(pprtε(f)) + log₂(1/ε) + 1)² の間で挟まれる。
• 新しい境界は、パブリックコインプロトコルを分割の確率分布として明示的にモデル化する線形計画問題として定義されており、より厳密な解析を可能にする。