[論文レビュー] A composition theorem for decision tree complexity

Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、各 $ f^i $ がブール値をとる合成関係 $ h = g \circ (f^1, \dots, f^n) $ における意思決定木複雑さの合成定理を確立する。$ h $ の意思決定木複雑さが $ g $ と各 $ f^i $ の複雑さの合成に正確に一致することを証明し、繰り返し適用されたブール関数のタイトな特徴づけと、クエリ複雑さにおける直接和定理を導く。

ABSTRACT

We completely characterise the complexity in the decision tree model of computing composite relations of the form h = g(f^1,...,f^n), where each relation f^i is boolean-valued. Immediate corollaries include a direct sum theorem for decision tree complexity and a tight characterisation of the decision tree complexity of iterated boolean functions.

研究の動機と目的

• 合成関係 $ h = g \\circ (f^1, \dots, f^n) $ の意思決定木複雑さを特徴づけること、ここで各 $ f^i $ はブール値をとる。
• 部分関数をブラックボックスで評価することによる意思決定木の合成が、常に最適であるかどうかを解明すること。
• 関数に限らず関係に対しても一般化可能なタイトな合成定理を確立すること。
• 直接和定理や繰り返しブール関数の複雑さの境界を含む、意思決定木複雑さに関する新たな結果を導出すること。

提案手法

• 関係に対する意思決定木モデルを形式化し、定義域、値域、クエリ複雑さを定義する。
• 各部分関数 $ f^i $ にその意思決定木複雑さ $ D(f^i) $ を重みとして割り当てる重み付き意思決定木モデルを導入する。
• $ g $ の入力を部分関数 $ f^i $ に置き換える合成関数 $ \bar{g} $ を定義し、再帰的合成によるその複雑さを分析する。
• 変数の依存関係に関する帰納法とケース解析を用いて、最適な戦略が各 $ f^i $ を独立に計算し、それらの出力を合成することであることを証明する。
• 合成定理を適用して、各 $ f^i $ からの重み付き入力の下で $ g $ の最悪ケース複雑さを分析することで、$ D(h) $ の境界を導出する。
• 合成木の深さが $ D(g, [D(f^1), \dots, D(f^n)]) + 1 $ に等しいことを証明する。ここで重みは部分関数の複雑さである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ f^i $ を独立に計算し、それらの出力を合成するという自然な戦略が、$ h = g \circ (f^1, \dots, f^n) $ を計算する際に常に最適であるか。
• RQ2 各 $ f^i $ がブール値をとる場合、合成関係 $ h $ の意思決定木複雑さが $ g $ と各 $ f^i $ の複雑さの関数として正確に特徴づけられるか。
• RQ3 合成定理が、合計複雑さが個々の複雑さの和に等しいという意思決定木複雑さにおける直接和定理を示唆するか。
• RQ4 繰り返しブール関数 $ f^{(k)} $ の意思決定木複雑さは何か。ここで $ f^{(k)}(x) = f(f^{(k-1)}(x^1), \dots, f^{(k-1)}(x^n)) $ と再帰的に定義される。
• RQ5 変数の制限下で、部分関数の最大複雑さを用いて $ g $ の複雑さを束縛できる条件は何か。

主な発見

• 意思決定木複雑さ $ h = g \circ (f^1, \dots, f^n) $ は正確に $ D(h) = D(g, [D(f^1), \dots, D(f^n)]) + 1 $ に等しく、ここで $ D(f^i) $ は $ f^i $ の意思決定木複雑さである。
• 繰り返しブール関数 $ f^{(k)} $ に対して、意思決定木複雑さは $ D(f^{(k)}) = D(f)^k $ を満たし、反復による指数的増加がタイトであることを示す。
• 合成定理は直接和定理を示唆する：独立なブール関係 $ f^1, \dots, f^n $ に対して、すべての出力を同時に計算する複雑さは $ D(h) = \sum_{i=1}^n D(f^i) $ に等しい。
• 部分関数 $ f^i $ が定数でない場合でもこの結果が成り立ち、最適な戦略は各 $ f^i $ を独立に計算し、その出力を $ g $ に供給することである。
• 証明技法は重み付き意思決定木へと拡張でき、任意の部分関数の重みを減らしても、合成関数全体の複雑さは増加しないことを示す。
• この定理は意思決定木複雑さにおける合成に関する長年の未解決問題を解決し、量子クエリ境界を含むクエリ複雑さ分野におけるさらなる結果の基盤を提供する。