[論文レビュー] A comprehensive classification of complex statistical systems and an ab-initio derivation of their entropy and distribution functions

Rudolf Hanel, Stefan Thurner|arXiv (Cornell University)|May 2, 2010

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、4番目のキンチン公理の違反を保ちつつ、最初の3つを満たす条件下で導かれる2つのスケーリング指数 (c,d) に基づき、複雑な統計系を統一的に分類する手法を提案する。一般化されたエントロピー $ S_{c,d} \propto \sum_{i} \Gamma(1+d, 1 - c\ln p_i) $ が一意に導かれ、ボルツマン＝ギブズ、ストレッチド指数関数、ツァリスのエントロピーが特殊ケースとして含まれる。対応する分布関数はラマヌジャン・ウインター関数を用いて表現され、複雑系における一般化エントロピーの根源的基盤を提供する。

ABSTRACT

To characterize strongly interacting statistical systems within a thermodynamical framework - complex systems in particular - it might be necessary to introduce generalized entropies, $S_g$. A series of such entropies have been proposed in the past, mainly to accommodate important empirical distribution functions to a maximum ignorance principle. Until now the understanding of the fundamental origin of these entropies and its deeper relations to complex systems is limited. Here we explore this questions from first principles. We start by observing that the 4th Khinchin axiom (separability axiom) is violated by strongly interacting systems in general and ask about the consequences of violating the 4th axiom while assuming the first three Khinchin axioms (K1-K3) to hold and $S_g=\sum_ig(p_i)$. We prove by simple scaling arguments that under these requirements {\em each} statistical system is uniquely characterized by a distinct pair of scaling exponents $(c,d)$ in the large size limit. The exponents define equivalence classes for all interacting and non interacting systems. This allows to derive a unique entropy, $S_{c,d}\propto \sum_i Γ(d+1, 1- c \ln p_i)$, which covers all entropies which respect K1-K3 and can be written as $S_g=\sum_ig(p_i)$. Known entropies can now be classified within these equivalence classes. The corresponding distribution functions are special forms of Lambert-$W$ exponentials containing as special cases Boltzmann, stretched exponential and Tsallis distributions (power-laws) -- all widely abundant in nature. This is, to our knowledge, the first {\em ab initio} justification for the existence of generalized entropies. Even though here we assume $S_g=\sum_ig(p_i)$, we show that more general entropic forms can be classified along the same lines.

研究の動機と目的

• 系のサイズ変化に伴う漸近的挙動に基づき、複雑な統計系を分類する一般枠組みを確立すること。
• 現在統一的理論的根拠を欠いている、複雑系で用いられる一般化エントロピーの根本的起源を特定すること。
• 分離性（4番目のキンチン公理）を破るが、最初の3つのキンチン公理を満たす唯一のエントロピー関数形 $ S_{c,d} $ を導出すること。この関数形は、相互作用を有する・しないすべての系に適用可能である。
• すべてのこのような系が (c,d) のペアで定義される同値類に属し、大規模極限において特徴的な熱力学的挙動を示すことを示すこと。
• すべてのこのような系の分布関数がラマヌジャン・ウインター指数関数の特殊ケースであることを示し、自然界におけるパワー則およびストレッチド指数関数的分布の広範な出現を説明すること。

提案手法

• 著者らは、系の状態数 W が大きい極限において、エントロピーの漸近的スケーリング挙動を分析する。最初の3つのキンチン公理（連続性、凹性、g(0)=0）と形式 $ S_g = \sum_i g(p_i) $ を仮定し、4番目の公理（分離性）を破ることを前提とする。
• 彼らは、すべての系が大W極限において、2つのスケーリング指数 (c,d) によって一意に特徴づけられることを導出する。
• スケーリングの議論を用いて、エントロピーが上弦不完全ガンマ関数が一般化された挙動を符号化する形で $ S_{c,d} \propto \sum_i \Gamma(1+d, 1 - c\ln p_i) $ の形を取らなければならないことを示す。
• 最大エントロピー問題の解として、分布関数がラマヌジャン・ウインター関数を含む形で導かれる。
• この枠組みは、物理的整合性の重要な条件であるレーシェ安定性が、すべてのこのようなエントロピーに対して自動的に満たされることを示すために拡張される。
• Rényi型エントロピーへの一般化も行われるが、関数形 $ G(\sum g(p_i)) $ のため、技術的複雑性が増加する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強く相互作用する系では4番目のキンチン公理が破れるが、ボルツマン＝ギブズ枠組みを超える複雑統計系を分類する根本的原理は何か？
• RQ2 分離性公理を緩和した場合、最初の3つのキンチン公理から一意に一般化エントロピーを第一原理から導出できるか？
• RQ3 このような一般化枠組みから生じるエントロピー関数形と対応する分布関数の関数形は何か？
• RQ4 パワー則およびストレッチド指数関数的分布がなぜ複雑系で一般的に現れるのか、その普遍性の背後にある要因は何か？
• RQ5 スケーリング指数 (c,d) が、同じ漸近的熱力学的挙動を示す系の同値類をどのように定義するのか？

主な発見

• 最初の3つのキンチン公理と形式 $ S = \sum_i g(p_i) $ を満たすすべての統計系は、大規模極限において、スケーリング指数のペア (c,d) によって一意に分類される。
• 一般化エントロピーは $ S_{c,d} \propto \sum_i \Gamma(1+d, 1 - c\ln p_i) $ で与えられ、(c,d) = (1,1) のときボルツマン＝ギブズエントロピーに還元される。
• すべてのこのような系の分布関数はラマヌジャン・ウインター指数関数の特殊ケースであり、尾部は (c,d) のみに依存する。これはパワー則およびストレッチド指数関数的形の広範な出現を説明する。
• 0 < c < 1 である系は、複雑で強く相互作用する系を表し、c = 1 である系は相互作用がなく、もしくは弱い相互作用を有する系を表す。
• 導出されたすべてのエントロピーに対してレーシェ安定性が保証されるため、測定可能な変換に対して物理的整合性と頑健性が確認される。
• 同値類 (c,d) は、中心極限定理に類似した漸近的同値の盆地を形成し、同じクラスに属する系はサイズが増大するに従い、同一のマクロな挙動に収束する。