[論文レビュー] A comprehensive connection between the basic results and properties derived from two kinds of topologies for a random locally convex module

Tiexin Guo|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2009

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、確率的局所凸モジュール上の frac{(ϵ,\lambda)}{-位相} と局所 $L^0$-凸位相の間の包括的関係を確立し、可算結合性の性質が成り立つ場合、両位相が同値な完備性をもたらすことを証明している。さらに、従来 frac{(ϵ,\lambda)}{-位相} の下でのみ成り立っていた確率的双対空間に関する深い結果が、より強い局所 $L^0$-凸位相でも成り立つことを示しており、その応用分野（金融・解析）を著しく拡大している。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to make a comprehensive connection between the basic results and properties derived from the two kinds of topologies (namely the $(ε,λ)-$topology introduced by the author and the stronger locally $L^{0}-$convex topology recently introduced by Filipovi$\acute{c}$ et. al) for a random locally convex module. First, we give an extremely simple proof of the known Hahn-Banach extension theorem of $L^{0}-$linear functions as well as its continuous variants. Then we give the essential relations between the hyperplane separation theorems in [Filipovi$\acute{c}$ et. al, J. Funct. Anal.256(2009)3996--4029] and a basic strict separation theorem in [Guo et. al, Nonlinear Anal. 71(2009)3794--3804]: in the process obtain a useful and surprising fact that a random locally convex module with the countable concatenation property must have the same completeness under the two topologies! Based on the relation between the two kinds of completeness, we go on to present the central part of this paper: we prove that most of the previously established deep results of random conjugate spaces of random normed modules under the $(ε,λ)-$topology are still valid under the locally $L^{0}-$convex topology, which considerably enriches financial applications of random normed modules.

研究の動機と目的

• 確率的局所凸モジュールにおける frac{(ϵ,\lambda)}{-位相} と局所 $L^0$-凸位相の包括的関係を確立すること。
• 可算結合性の性質が両位相の下で同値な完備性を示すことを証明すること。
• 従来 frac{(ϵ,\lambda)}{-位相} の下でのみ有効であった、確率的双対空間に関する深い結果を、より強い局所 $L^0$-凸位相へと拡張すること。
• これらの結果が、強化された構造的・双対理論を通じて、金融数学者への応用可能性を示すこと。

提案手法

• 両位相の下で $L^0$-線形関数およびその連続版に対するハーン＝バナッハ拡張定理の簡略化された証明を提示すること。
• フィリポビッチらとクロウらの超平面分離定理の関係を分析し、分離性質における重要な双対性を明らかにすること。
• 可算結合閉包の概念を導入・利用し、位相の関係を確立するとともに、完備性の同値性を示すこと。
• 構造的・位相的双対性を用いて、 frac{(ϵ,\lambda)}{-位相} の下で開発された確率的双対空間理論が、局所 $L^0$-凸位相でも有効であることを証明すること。
• ゲージ関数理論とモジュール構造を用いて、特に密度およびコンパクト性の性質に着目して、二つの位相を比較すること。
• 反例を用いて、局所 $L^0$-凸位相下ではバナッハ＝ブールバック＝カクトゥアニ＝シュムリアン定理の逆が成り立たないことを示し、位相的差異を強調すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的局所凸モジュールにおいて、 frac{(ϵ,\lambda)}{-位相} と局所 $L^0$-凸位相の下での超平面分離定理はどのように関係しているか？
• RQ2 どのような条件下で、 frac{(ϵ,\lambda)}{-位相} と局所 $L^0$-凸位相が、確率的局所凸モジュールにおいて同じ完備性を誘導するか？
• RQ3 従来 frac{(ϵ,\lambda)}{-位相} の下でのみ成り立っていた、確率的ノルムモジュールの確率的双対空間に関する深い結果が、より強い局所 $L^0$-凸位相でもどの程度有効に保たれるか？
• RQ4 可算結合性の性質が、二つの位相の間をつなぐ橋渡しとして機能し、完備性および構造的挙動の同値性を保証できるか？
• RQ5 なぜ局所 $L^0$-凸位相は、可算結合性や $L^p(S)$ の $S$ における稠密性といった、ある種の古典的道具を保存しないのか？その影響は何か？

主な発見

• 可算結合性の性質を有する確率的局所凸モジュールは、 frac{(ϵ,\lambda)}{-位相} で完備であるための必要十分条件が、局所 $L^0$-凸位相でも完備であることである。
• $L^0$-線形関数およびその連続版に対するハーン＝バナッハ拡張定理が、著しく簡略化された証明で再確認された。
• 従来 frac{(ϵ,\lambda)}{-位相} の下でのみ成り立っていた、確率的ノルムモジュールの確率的双対空間に関する多くの深い結果が、局所 $L^0$-凸位相でも成り立つことが示された。
• 局所 $L^0$-凸位相では、可算結合性の性質や $L^p(S)$ の $S$ における稠密性が、 frac{(ϵ,\lambda)}{-位相} とは異なり保存されない。
• バナッハ＝ブールバック＝カクトゥアニ＝シュムリアン定理の逆は、局所 $L^0$-凸位相下で成り立たない：純粋に $P$-原子的フィルトレーションを持つ確率的反射的モジュールの単位球が $ frac{\sigma_c}{-}$-コンパクトであるとは限らない。
• 二つの位相は金融応用において両方とも不可欠であり、今後の確率的局所凸モジュール分野の研究において、両者の併用が推奨される。