[論文レビュー] A Comprehensive subclass of analytic and bi-univalent functions associated with subordination

Ala Amourah, Mohamed Illafe|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Analytic and geometric function theory参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ファーブ多項式展開と劣andra理論を用いて、単位円板内における解析的かつ双一価関数の新しい部分クラスを導入する。微分作用素を適用し、劣andraを介した係数の有界性を活用することで、係数 |a₂| および |a₃| の鋭鋭上界を確立し、中間係数が消える場合の |aₙ| の一般有界性を示し、幾何関数論における先行研究を拡張する。

ABSTRACT

In the present paper, we define a new general subclass of bi-univalent functions involving a differential operator in the open unit disk U. For this purpose, we use the Faber polynomial expansions. Several connections to some of the earlier known results are also pointed out.

研究の動機と目的

• 微分作用素と劣andraを用いて、単位円板内における双一価関数の新しい一般部分クラスを定義すること。
• ファーブ多項式展開を適用して、解析的双一価関数の係数推定を導出すること。
• 劣andraと多項式技法を用いて、クラス Σ における係数有界性の先行研究を一般化・拡張すること。
• 特定の係数が消える条件の下で、係数 |a₂|、|a₃|、|aₙ| の鋭い上界を確立すること。

提案手法

• 著者らは、μ、λ、δ、および ξ = (2λ+μ)/(2λ+1) を含む微分作用素を用いて、双一価関数の新しい部分クラス BΣ(μ,λ,Φ,ξ) を定義する。
• ファーブ多項式展開を用いて、f(z) 及びその逆関数 f⁻¹(w) のテイラー級数を表現し、係数抽出を可能にする。
• 劣andra理論を用いて、微分表現を正の実部を持つ関数 Φ(z) と関連付け、Re(Φ(z)) > 0 を保証する。
• f 及び f⁻¹ の係数は、a₂, a₃, ..., aₙ を含む同次多項式 Kₙ₋₁⁻ⁿ を介して関連づけられる。
• 微分表現のファーブ級数展開と Φ(ϖ(z)) の係数を比較することで、aₙ と Φₙ の関係を導出する。
• 係数比較と三角不等式を用いて、|a₂| ≤ √[8 / ((μ+2λ+6ξδ)(μ+1))] および |a₃| ≤ [1 / (1 + 6δ/(2λ+1))] × [4 / (μ+λ+2ξδ)² + 2 / (μ+2λ+6ξδ)] の有界性が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 劣andraおよび微分作用素を用いて定義された双一価関数の新しい部分クラスにおいて、係数 |a₂| および |a₃| の鋭い上界は何か？
• RQ2 ファーブ多項式展開は、双一価関数の係数推定をどのように支援するか？
• RQ3 2 ≤ m ≤ n−1 に対して aₘ = 0 であるとき、|aₙ| の一般有界性は何か？
• RQ4 本稿の結果は、Tan (1984) や Yousef らの先行研究と比較して、どのように一般化または拡張されるか？

主な発見

• |a₂| の鋭い上界は、|a₂| ≤ √[8 / ((μ+2λ+6ξδ)(μ+1))] であり、係数比較と劣andra制約から導出される。
• |a₃| の有界性は、|a₃| ≤ [1 / (1 + 6δ/(2λ+1))] × [4 / (μ+λ+2ξδ)² + 2 / (μ+2λ+6ξδ)] であり、係数方程式の差をとり、三角不等式を適用することで得られる。
• n ≥ 4 に対して、2 ≤ m ≤ n−1 で aₘ = 0 ならば、|aₙ| ≤ 2 / [μ + (n−1)λ + n(n−1)ξδ] が得られ、Φ₁ とファーブ多項式を含む係数関係の絶対値から導出される。
• δ = 0 の場合、結果は既知の定理に帰着され、先行研究（例：[4] の定理1および2）と整合性が確認される。
• ファーブ多項式の使用により、双一価関数の高次項における係数推定を体系的に導出可能となる。