[論文レビュー] A computability challenge: asymptotic bounds and isolated error-correcting codes

Yuri I. Manin|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2011

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、q進アルファベット上のエラー訂正符号の漸近的上限 αₚ(δ) が構成的数学の意味で計算可能であるかどうかを調査する。計算可能性理論と符号点集合の再帰的可算性を用いて、αₚ(δ) が co-再帰的可算であるならば、その上限より厳密に小さい符号点の集合および孤立符号点の集合は再帰的可算であることを示す。これにより計算可能性を評価するための枠組みが提供されるが、αₚ(δ) の正確な計算可能性については未解決のまま残っている。

ABSTRACT

Consider the set of all error--correcting block codes over a fixed alphabet with $q$ letters. It determines a recursively enumerable set of points in the unit square with coordinates $(R,δ)$:= {\it (relative transmission rate, relative minimal distance).} Limit points of this set form a closed subset, defined by $R\le α_q(δ)$, where $α_q(δ)$ is a continuous decreasing function called {\it asymptotic bound.} Its existence was proved by the author in 1981, but all attempts to find an explicit formula for it so far failed. In this note I consider the question whether this function is computable in the sense of constructive mathematics, and discuss some arguments suggesting that the answer might be negative.

研究の動機と目的

• q進エラー訂正符号の漸近的上限 αₚ(δ) が構成的数学の意味で計算可能かどうかを特定すること。
• 漸近的上限より厳密に小さい符号点の集合および孤立符号点の集合の計算可能性を分析すること。
• 符号点 (R, δ) の極限点の集合として定義される符号ドメイン Uₚ が再帰的かどうかを探索すること。これにより αₚ(δ) の計算可能性が示唆される。
• 有理数の正方形（ピクセル）からなる co-再帰的可算集合を用いて αₚ(δ) のグラフを近似可能かどうかを評価すること。幾何的近似と計算可能性の関連を確立する。

提案手法

• 構成的数学における計算可能性の枠組み、特に co-再帰的可算集合を用いて αₚ(δ) の計算可能性を定義する。
• N-ストリップ（O(1/N) の誤差内で αₚ(δ) のグラフを近似する連結な閉集合）を用いる。有理数の閉球（サイズ 1/N）を用いて近似を実行する。
• 平行アルゴリズムを用いて、有理数の閉球が αₚ(δ) のグラフと交差するかしないかを同時に評価し、両側からの近似を可能にする。
• 例外的 N-球（Uₚ と交差するが内部は交差しないもの）を定義し、その境界点を用いて Γₚ(δ) を制御誤差で特定する。
• Uₚ が再帰的であれば、例外的 N-球の集合は有限であり、アルゴリズム的に特定可能であることを活用し、Γₚ の両側からの近似を構築する。
• Brat の結果を適用して、Γₚ が co-再帰的可算であるならば、再帰的可算（したがって再帰的）であることが示され、グラフの計算可能性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的な公式が得られていないにもかかわらず、構成的数学の意味で漸近的上限 αₚ(δ) は計算可能か？
• RQ2 αₚ(δ) が co-再帰的可算であるならば、αₚ(δ) より厳密に小さい符号点の集合は再帰的可算にできるか？
• RQ3 同じ仮定のもとで、孤立符号点の集合は再帰的可算にできるか？
• RQ4 符号ドメイン Uₚ が再帰的可算であるならば、αₚ(δ) の計算可能性は保証されるか？
• RQ5 有理数ピクセルに基づく集合を用いて、誤差を制御した αₚ(δ) のグラフの有効な近似が可能か？

主な発見

• αₚ(δ) が co-再帰的可算であるならば、漸近的上限より厳密に小さい符号点の集合は再帰的可算である。
• αₚ(δ) が co-再帰的可算であるならば、孤立符号点の集合も再帰的可算である。
• 与えられた計算可能性モデルのもとで、αₚ(δ) のグラフが計算可能であることは、co-再帰的可算であることに同値である。
• 符号ドメイン Uₚ が再帰的であれば、αₚ(δ) は計算可能である。なぜなら、例外的 N-球を用いて Uₚ の境界をアルゴリズム的に近似可能だからである。
• 有理数の閉球からなる N-ストリップの構築により、Γₚ(δ) の両側からの近似が O(1/N) の誤差で可能である。
• この結果は、αₚ(δ) の計算可能性が、そのグラフの再帰的可算性に同値であり、したがって上限より下および上にある符号点の集合の再帰的可算性に同値であることを示唆する。