[論文レビュー] A computation of D(9) using FPGA Supercomputing

Lennart Van Hirtum, Patrick De Causmaecker+5 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2023

Particle physics theoretical and experimental studies被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Noctua 2 スーパークラスタ上にカスタムFPGAアクセラレータを搭載したことで、9番目のデデキンド数 D(9) = 286386577668298411128469151667598498812366 の計算を初めて実行した。この手法は単調ブール関数の同値類を活用して計算複雑度を低減し、エラー検出メカニズムを備えた並列FPGA処理を採用することで正しさを保証しており、複数の整合性チェックおよびその後の独立したプレプリントによる確認によって裏付けられている。

ABSTRACT

This preprint makes the claim of having computed the $9^{th}$ Dedekind Number. This was done by building an efficient FPGA Accelerator for the core operation of the process, and parallelizing it on the Noctua 2 Supercluster at Paderborn University. The resulting value is 286386577668298411128469151667598498812366. This value can be verified in two steps. We have made the data file containing the 490M results available, each of which can be verified separately on CPU, and the whole file sums to our proposed value.

研究の動機と目的

• D(9) を計算すること。これは、二重指数的複雑性のため、現在までに知られている最大のデデキンド数のままである。
• 単調ブール関数の同値類による対称性低減を用いて、ブルートフォースな列挙の計算不能性を克服すること。
• コアのPCoeff計算を実行するための高性能FPGAアクセラレータを設計・展開し、スーパークラスタ上でスケーラブルな並列処理を可能にすること。
• モジュラー算術によるチェック、データ整合性モニタリング、CPUベースの結果とのクロスチェックを含む複数の検証レイヤーにより正しさを保証すること。
• 独立した検証が可能な検証可能でオープンソースの実装およびデータセットを提供すること。

提案手法

• 計算は、D(n) から R(n) に項の数を削減することで、計算効率を著しく向上させる再設計版のPCoeff式を用いる。
• 4億9000万個のトップレベルの反鎖（α）を15,000のジョブに分割し、PCIeによるデータ転送を介してFPGA上で並列処理する。
• 各αに対して、すべての5040通りの順列（γ）を、各ボトム（β）について計算し、接続子番号 Cα,γ を算出し、すべての順列について 2^Cα,γ を合算してPCoeffを計算する。
• FPGAコアは128ビットおよび192ビット整数演算を最適化しており、PCIeデータ破損を特定するための「有効な順列数」による独自のエラー検出機構を備えている。
• チェックサム機構を備えている：4億9000万個の中間結果を合算するとD(8)が得られ、既知の値と一致するため、データ整合性が確認できる。
• SEUによるビットフィップのリスクを低減するため、結果の二重チェックと不一致時の優先順位決定を含む、二度目の独立した計算を実行した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FPGA加速による並列処理を用いて、時間的・記憶容量的制限内でD(9)を計算可能か？
• RQ2 同値類R(n)による対称性低減をPCoeff式に効果的に適用することで、計算複雑度をどのように低減できるか？
• RQ3 大規模FPGAベースのスーパーコンピューティングにおける主なエラー要因は何か？ そして、それらはどのように検出・緩和できるか？
• RQ4 ハードウェアレベルのビットフィップやPCIe転送バグが存在する中で、カスタムFPGAアクセラレータがD(9)を信頼性高く計算するのに十分なスループットと正確性を達成できるか？
• RQ5 このような大規模計算の正しさを、独立的かつ透明に検証できるか？

主な発見

• 9番目のデデキンド数は D(9) = 286386577668298411128469151667598498812366 として計算され、4億9000万個の中間結果の合計により確認され、複数の整合性チェックによって裏付けられている。
• FPGAベースの計算は、1FPGAあたり1秒あたり約150万回のPCoeff評価というピークスループットを達成し、47,000 FPGA時間で4億9000万個のα値を処理した。
• 以前に知られていなかったPCIeライブラリバグにより、4億9000万個のジョブのうち約2,300件でデータ破損が発生したが、「有効な順列数」による検証で検出され、冗長なチェックにより是正された。
• D(9) ≡ 6 mod 210 であるというモジュラーチェックに合格しており、128/192ビット演算中にオーバーフローが発生していないことが確認された。
• コルシュノフ推定式は D(9) ≈ 1.15×10^41 を予測しており、実際の値の2倍以内に収まっており、計算が想定される範囲内にあることを示している。
• 2023年4月4日に公開された独立したプレプリントが、同じ結果を確認しており、計算の正しさが裏付けられた。