[論文レビュー] A computation of invariants of a rational self-map

Ekaterina Amerik|ArXiv.org|Jul 26, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般の滑らかな立方四次元超曲面 $V \subset \mathbb{P}^5$ の直線のファノ多様体 $X = \mathcal{F}(V)$ 上の有理自己写像 $f$ の代数的安定性を確立し、その動的次数を $\lambda_1 = 7$, $\lambda_2 = 31$, $\lambda_3 = 28$, $\lambda_4 = 16$ として計算し、$f$ が $\lambda_2$ を最大動的次数として cohomo­logisch hyperbolisch であることを証明する。計算は、特異性の除去をブ low-up を用いて行い、交線論およびチャーン類を用いてコhomologie 上の誘導作用を分析することに依拠する。

ABSTRACT

I compute the dynamical degrees in C. Voisin's example of a rational self-map of the variety of lines on a cubic fourfold.

研究の動機と目的

• 一般の滑らかな立方四次元超曲面 $V \subset \mathbb{P}^5$ の直線のファノ多様体 $X = \mathcal{F}(V)$ 上の有理自己写像 $f$ の代数的安定性を確立すること。
• コホモロジー上の $f^*$ の作用、特に $H^4(X, \mathbb{Z})$ において、$f$ の動的次数を計算すること。
• 第二種の直線からなる特異性の除去のための $S \subset X$ の幾何的性質を分析し、$S$ に沿ったブローアップにより $f$ を解消すること。
• $\lambda_2 = 31$ を最大動的次数として、$f$ がコホモロジー的双曲的であることを証明すること。
• $H$（超平面類）と $\Delta$（第二種の直線の曲面の類）が $f^*$ に関して不変部分空間を生成することを示し、この部分空間における $f^*$ の固有値を計算すること。

提案手法

• 特異性の除去のため、第二種の直線の曲面である $S$ に沿って $f$ をブローアップし、$\tilde{X}$ 上の自己写像 $g$ を得る。
• $E$（例外的除集合）が $S$ 上の射影バンドルとしての構造を持つことを利用し、標準的ラインバンドルを含む完全系列を用いてチャーン類および交線数を計算する。
• $\pi: \tilde{X} \to X$ における射影の下で、$g^*H$ の押し出しを用いて $f^*H = 7H$ を計算する。これは、直線の普遍族の幾何的性質に依拠する。
• $\pi_*(\pi^*H \cdot E)$ および $\pi_*(E^2)$ を分析し、$E$ が $\mathcal{O}_E(-1)$ に制限されることと、$\pi_*E^2 = -S = -(H^2 - \Delta)$ を用いて、$f^*H^2 = 4H^2 + 45\Delta$ を導出する。
• $g^*\Delta = c_2(g^*U_X)$ を二つの完全系列（$P$ と $g^*U_X$ を含む）を用いて表現し、その後押し出しを行うことで $f^*\Delta = 31\Delta$ を計算する。
• $g^*H^3 = (7\pi^*H - 3E)^3$ を展開し、$\pi_*(\pi^*H^2 E)$、$\pi_*(\pi^*H E^2)$、$\pi_*(E^3)$ を射影バンドル公式およびチャーン類の恒等式を用いて評価することで、$f^*H^3 = 28H^3$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の立方四次元超曲面のファノ多様体 $X = \mathcal{F}(V)$ 上の有理自己写像 $f$ は、代数的に安定であるか。すなわち、すべての $n$ に対して $(f^n)^* = (f^*)^n$ が成り立つか。
• RQ2 $f$ の動的次数 $\lambda_l(f)$ は何か。また、どの次数が支配的か。
• RQ3 $f^*$ が $H^4(X, \mathbb{Z})$ 上に作用するとき、その分解はどのように行われるか。特に、$H^2$ と $\Delta$ で張られる不変部分空間におけるスペクトル的性質は何か。
• RQ4 $f^*$ の固有値の幾何的起源は何か。特に、$7$, $31$, $28$ の値はどのように生じるか。
• RQ5 $f$ は部分多様体のラグランジュ的性質を保存するか。これは $\Delta$ のコホモロジー類にどのように反映されるか。

主な発見

• 有理自己写像 $f$ は、$X = \mathcal{F}(V)$ 上で代数的に安定であり、すべての $n$ に対して $(f^n)^* = (f^*)^n$ が成り立つ。これにより、$f^*$ のスペクトル半径を用いて動的次数を計算できる。
• $f$ の動的次数は $\lambda_1 = 7$, $\lambda_2 = 31$, $\lambda_3 = 28$, $\lambda_4 = 16$ であり、$\lambda_2$ が支配的である。
• $f^*$ のコホモロジー上での引き戻し作用は、$f^*H = 7H$, $f^*H^2 = 4H^2 + 45\Delta$, $f^*\Delta = 31\Delta$, $f^*H^3 = 28H^3$ を満たし、これらは $\tilde{X}$ 上の交線論により計算される。
• $\Delta$ は $f^*$ の固有ベクトルであり、固有値 $31$ を持つ。これは $f$ が第二種の直線のラグランジュ的曲面 $S$ を保存することを反映している。
• $H^4(X, \mathbb{Z})$ の直交ホッジ部分構造への分解により、$f^*$ が既約成分上でホモセティ（スカラー倍）として作用することが示され、交線形式に関して $f^*$ が自己随伴であることを支持する。
• $\pi_*(E^3)$ をチャーン類および射影バンドル公式を用いて $-\frac{35}{4}H^3$ として計算することは、$f^*H^3 = 28H^3$ を得るために不可欠である。