[論文レビュー] A computational framework for infinite-dimensional Bayesian inverse problems. Part I: The linearized case, with application to global seismic inversion

Tan Bui–Thanh, Omar Ghattas+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2013

Gaussian Processes and Bayesian Inference参考文献 28被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、関数空間に配慮した離散化と事後分散共分散の低ランク近似を用いて、無限次元のベイズ逆問題をスケーラブルに解く計算フレームワークを提示する。これにより、430,000パラメータに達する高次元の地震波逆問題における不確実性評価が可能となり、効率的なサンプリングと行列非依存演算により、次元数を2〜3桁削減する。

ABSTRACT

We present a computational framework for estimating the uncertainty in the numerical solution of linearized infinite-dimensional statistical inverse problems. We adopt the Bayesian inference formulation: given observational data and their uncertainty, the governing forward problem and its uncertainty, and a prior probability distribution describing uncertainty in the parameter field, find the posterior probability distribution over the parameter field. The prior must be chosen appropriately in order to guarantee well-posedness of the infinite-dimensional inverse problem and facilitate computation of the posterior. Furthermore, straightforward discretizations may not lead to convergent approximations of the infinite-dimensional problem. And finally, solution of the discretized inverse problem via explicit construction of the covariance matrix is prohibitive due to the need to solve the forward problem as many times as there are parameters. Our computational framework builds on the infinite-dimensional formulation proposed by Stuart (A. M. Stuart, Inverse problems: A Bayesian perspective, Acta Numerica, 19 (2010), pp. 451-559), and incorporates a number of components aimed at ensuring a convergent discretization of the underlying infinite-dimensional inverse problem. The framework additionally incorporates algorithms for manipulating the prior, constructing a low rank approximation of the data-informed component of the posterior covariance operator, and exploring the posterior that together ensure scalability of the entire framework to very high parameter dimensions. We demonstrate this computational framework on the Bayesian solution of an inverse problem in 3D global seismic wave propagation with hundreds of thousands of parameters.

研究の動機と目的

• 無限次元パラメータ場を有する大規模逆問題における不確実性評価の課題に対処する。
• 楕円型偏微分方程式に基づくガウスノイズ場事前分布を用いることで、離散化された逆問題の適切な定式化と収束性を保証する。
• 高次元事後分散共分散行列の明示的構築を回避するためのスケーラブルなアルゴリズムを開発する。
• 数十万のパラメータを有する3次元全地球的地震波動の伝播における実用的な不確実性評価を可能にする。
• 効率的な事後分布サンプリングと事後分散共分散作用素の低ランク近似を支援する計算フレームワークを提供する。

提案手法

• 関数空間における逆問題を定式化し、楕円型偏微分方程式作用素の逆作用素で定義される共分散を有するガウス事前分布を用いる。
• 無限次元解への収束を保証する関数空間に配慮した有限要素離散化を実装する。
• ランダム化されたSVDとスナップショット法を用いて、データに依存する事後分散共分散の成分の低ランク近似を構築する。
• 行列非依存のアプローチを用い、大規模な共分散行列の明示的形成を避け、代わりに前向きおよび随伴PDEの解法に依存する。
• 事後精度行列のスペクトル分解を介して、事後共分散の平方根因子分解を導出する。これにより、効率的なサンプリングが可能になる。
• ランダム化アルゴリズムを用いて、事後サンプルを $\boldsymbol{\nu}^{\text{post}} = \boldsymbol{m}_{\text{MAP}} + \boldsymbol{L}\boldsymbol{n}$ として計算する。ここで $\boldsymbol{L}\boldsymbol{L}^\top = \boldsymbol{\Gamma}_{\text{post}}$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真の解への収束を保証するように、無限次元ベイズ逆問題をどのように離散化できるか。
• RQ2 高次元パラメータを有する無限次元逆問題において、適切な定式化と滑らかさを保証するための事前分布は何か。
• RQ3 大規模な行列の明示的形成や保存を避けながら、事後共分散作用素を効率的に近似する方法は何か。
• RQ4 数十万のパラメータを有する3次元全地球的地震波動伝播におけるスケーラブルな不確実性評価を可能にする計算フレームワークは何か。
• RQ5 低ランク近似と行列非依存手法により、事後分布サンプリングの計算コストを複数桁削減できるか。

主な発見

• 提案されたフレームワークは、事後共分散の低ランク近似により、有効なパラメータ次元数を2〜3桁削減する。
• 関数空間に配慮した離散化により、有限次元近似が真の無限次元逆問題に収束することが保証される。
• 楕円型PDEの逆作用素に基づくガウス事前分布の使用により、パラメータのサンプルがほとんど確実に連続的であり、適切に定式化された逆問題が得られる。
• 行列非依存のサンプリング手法により、全事後共分散行列の明示的構築を回避でき、最大430,000パラメータの問題にまでスケーラブルである。
• 本フレームワークは、従来は次元の多さのため実行不可能とされてきた3次元全地球的地震波動伝播逆問題におけるベイズ的不確実性評価を成功裏に実現した。
• 理論的および数値的結果により、事後共分散の低ランク近似が正確かつ計算的に効率的であることが確認された。