[論文レビュー] A computationally efficient method to solve the Takagi-Taupin equations for a large deformed crystal

A. Honkanen, G. Monaco+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2016

Microstructure and mechanical properties参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本論文では、ゆっくりと変化するひずみ成分を局所的な波長または入射角のシフトとして扱うことで、大規模な歪んだ結晶に対するTakagi-Taupin方程式を計算的に効率的に解く手法を提示する。この手法により、球面に湾曲したシリコンウェハで実験データと優れた一致を示し、複雑なひずみ場を持つX線分光計の予測能力を実証する。

ABSTRACT

We present a treatise on solving the Takagi-Taupin equations in the case of a strain field with an additional, spatially slowly varying component (owing to \\emph{e.g.}~heat expansion or angular compression). We show that the presence of such a component in a typical case merely shifts the reflectivity curve as a function of wavelength or incidence angle, while having a negligible effect on its shape. On the basis of the derived result, we develop a computationally efficient method to calculate the reflectivity curve of a large deformed crystal. The validity of the method is demonstrated by comparing computed reflectivity curves with experimental ones for bent silicon wafers. A good agreement is observed.

研究の動機と目的

• 空間的にゆっくりと変化するひずみ場を有するマクロな歪んだ結晶に対してTakagi-Taupin方程式を解く際の計算的課題に対処すること。
• 全偏微分方程式を結晶全体で解くことなく、X線反射率に及ぼす角度圧縮および熱膨張の影響を正確に捉える手法を開発すること。
• 高分解能非弾性X線散乱に用いられる湾曲結晶分光計の反射率曲線を正確にシミュレートすること。
• EsrF ID20ビームラインで得られた実験データと照合して、本手法を検証すること。

提案手法

• ひずみ場を、深さに依存する急変動成分と、マクロなゆっくりと変化する成分に分解する。
• ゆっくりと変化するひずみの効果を、結晶表面全体で局所的な入射光子波長または入射角のシフトとしてモデル化する。
• 深さに依存するひずみ成分の反射率曲線を計算するために、1次元Takagi-Taupin方程式を用いる。
• ひずみ勾配と結晶幾何学から導かれる式(11)または(15)を用いて、波長または角度シフト(δλまたはδθ)の空間的分布を計算する。
• 反射率曲線の全分布を、ベースとなるTT曲線とδλまたはδθ分布の畳み込みにより得る。ビーム発散および光源帯域幅はガウス畳み込みで扱う。
• 既知のひずみ場を有する球面に湾曲したシリコンウェハに本手法を適用し、ESRF ID20ビームラインの実験データと照合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 角度圧縮などによって生じるゆっくりと変化するひずみ成分は、大規模な歪んだ結晶のX線反射率曲線にどのように影響を与えるか？
• RQ2 全2ビームTakagi-Taupin方程式を解かずに、このようなひずみ成分の影響を単純な波長または入射角シフトとして近似できるか？
• RQ3 マクロな湾曲結晶において、ゆっくりと変化するひずみ成分を無視すると、反射率曲線予測にどの程度の誤差が生じるか？
• RQ4 局所的シフトに基づく半解析的手法は、複雑な結晶幾何形状に対しても、実験反射率曲線を高い精度で再現できるか？

主な発見

• ゆっくりと変化するひずみ成分は、反射率曲線の形状を著しく変化させることなく、主にエネルギー（波長または角度）方向にシフトさせる。幅の相対的変化は1%未満である。
• 球面に湾曲したSi(660)結晶（曲率半径1 m、厚さ300 µm）に対して、理論的予測と実験的反射率曲線の間に良好な一致が得られた。
• ゆっくりと変化するひずみ成分を無視すると、顕著な誤差が生じ、反射率曲線がエネルギー獲得側に約0.5 eVずれて不正なシフトを示す。
• 235 meV FWHMのガウス帯域幅を含む計算された反射率曲線は、形状および相対的強度分布の両面で実験データと一致した。
• 本手法は計算的に効率的かつスケーラブルであり、全数値的TT方程式の解法が困難な大規模結晶に対しても、正確な反射率計算を可能にする。
• 従来のブレッグ角に基づく定式化が破綻する近いバックスキャッタリング条件下でも、本手法は有効である。