[論文レビュー] A Computer Algebra Toolbox for Harmonic Sums Related to Particle Physics

Jakob Ablinger|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 31被引用数 142

ひとこと要約

この論文は、素粒子物理学の振幅において重要な対象である調和和、オイラー＝ザジエール和、および調和多重polylogarithmの記号的扱いを目的とした、HarmonicSumsコンピュータ代数パッケージを紹介する。同パッケージは準シャッフル代数の枠組みを確立し、拡張されたメリン変換を用いた微分を可能にし、ネストされた和を調和和の表現に変換するアルゴリズムを提示する。これにより、量子場理論におけるフェニマン積分の評価が著しく支援される。

ABSTRACT

In this work we present the computer algebra package HarmonicSums and its theoretical background for the manipulation of harmonic sums and some related quantities as for example Euler-Zagier sums and harmonic polylogarithms. Harmonic sums and generalized harmonic sums emerge as special cases of so-called d'Alembertian solutions of recurrence relations. We show that harmonic sums form a quasi-shuffle algebra and describe a method how we can find algebraically independent harmonic sums. In addition, we define a differentiation on harmonic sums via an extended version of the Mellin transform. Along with that, new relations between harmonic sums will arise. Furthermore, we present an algorithm which rewrites certain types of nested sums into expressions in terms of harmonic sums. We illustrate by nontrivial examples how these algorithms in cooperation with the summation package Sigma support the evaluation of Feynman integrals.

研究の動機と目的

• 量子場理論に現れる調和和および関連特殊関数を扱う体系的な計算フレームワークの構築を目的とする。
• 調和和の代数的構造を準シャッフル代数として形式化し、代数的に独立な基底を特定することを目的とする。
• 拡張されたメリン変換を用いて調和和への微分作用素を定義し、新たな代数的関係を明らかにすることを目的とする。
• ネストされた和を調和和の式に変換するアルゴリズムの設計を目的とし、簡約化と評価を可能にする。
• HarmonicSumsパッケージをSigma和計算システムと統合し、摂動QFTにおけるフェニマン積分の自動評価を可能とすることを目的とする。

提案手法

• 調和和を再帰的関係のd’Alembertian解として形式化し、その準シャッフル代数的構造を確立する。
• Lyndon語を用いて代数的に独立な調和和の基底を構成し、簡約化のための規則を導出する。
• 拡張されたメリン変換を用いて調和和への微分作用素を定義し、新たな代数的恒等式を生成する。
• 逆メリン変換を適用して調和多重対数関数を多重調和和に写像し、構造的解析を可能にする。
• シャッフルおよび準シャッフル代数的恒等式を活用して、特定の種類のネストされた和を調和和の式に変換するアルゴリズムを開発する。
• HarmonicSumsパッケージをSigma和計算システムと統合し、摂動QFTにおけるフェニマン積分の自動評価を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和和および関連特殊関数を記号的計算において体系的に表現・操作する方法は何か？
• RQ2 調和和の背後にある代数的構造は何か？最小で代数的に独立な基底をどのように構成できるか？
• RQ3 調和和への微分作用素を一貫して定義する方法は何か？この作用素からどのような新たな代数的関係が生じるか？
• RQ4 複雑なネストされた和を調和和の式に変換するアルゴリズム的手法は何か？
• RQ5 HarmonicSumsとSigmaの併用により、素粒子物理学におけるマルチスケールフェニマン積分の評価をどのように支援できるか？

主な発見

• 調和和は準シャッフル代数をなしており、Lyndon語を用いて代数的に独立な和の基底を構成可能であり、その数はモービウスの反転公式により与えられる。
• 拡張されたメリン変換により、調和和への微分作用素を定義でき、それにより新たな非自明な代数的関係が導かれる。
• 多重調和和の逆メリン変換をアルゴリズム的に計算可能であり、最も複雑な和は再帰的簡約プロセスによって特定可能である。
• 新規のアルゴリズムにより、特定の種類のネストされた和を調和和の式に変換可能であり、記号的計算における簡約化と評価が可能になる。
• HarmonicSumsとSigmaパッケージの統合により、フェニマン積分の自動評価が実現され、量子場理論の非自明な例で実証された。
• このフレームワークは、量子色力学における三ループ階層での異常次元およびウィルソン係数の計算を成功裏に支援した。