[論文レビュー] A computer search for planar substitution tilings with n-fold rotational symmetry

Franz Gähler, Eugene E. Kwan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2014

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、n-fold回転対称性を持つ平面の置換タイルを、π/nの角度を持つ三角形のプロトタイルに限定して、コンピュータ支援探索を実施する。体系的なアルゴリズムを用いて、特に7-fold対称性に対して、非整数のインフレーション因子を許容し、グローバルなn-fold対称性を示す、新たな置換規則を発見した。一部の規則は、第二コホモロジー群への非ユニモジュラー作用を示し、予期しないトポロジカルな性質を有する。

ABSTRACT

We describe a computer algorithm that searches for substitution rules on a set of triangles, the angles of which are all integer multiples of π/n. We find new substitution rules admitting 7-fold rotational symmetry at many different inflation factors.

研究の動機と目的

• 角度がπ/nの整数倍である三角形の最小集合上で、グローバルなn-fold回転対称性を持つタイリングを生成する新たな置換規則を同定すること。
• 特に、[19]で提示された一般的手法から導出されない置換規則を調査すること。これには、すべての該当三角形を用いるのではなく、特定のプロトタイル集合に焦点を当てることを含む。
• 同じプロトタイル集合上で複数の互換性のある置換規則が存在するかを同定し、それらをエッジ対エッジのマルチ・サブスティチューションまたはランダム・サブスティチューション・タイリングに組み合わせること。
• これらの新しい置換の力学的およびトポロジカルな性質、特にコホモロジー的挙動とインフレーション因子構造を調査すること。
• 非整数インフレーション因子を有する2次元エッジ対エッジ置換が不足している現状に対処し、このような性質を持つ新たな例を発見すること。

提案手法

• 角度がπ/nの整数倍である三角形の集合に対して、プロトタイルの有限集合を用いて、置換規則を体系的に探索するためのコンピュータアルゴリズムを設計する。
• エッジマッチングの整合性、エッジの分解とエッジの向きを含む制約に基づく探索を実装し、置換規則がエッジ対エッジのタイリングを生成することを保証する。
• インフレーション因子λ = 2 + 2cos(π/n)を重要なパrameterとし、n = 7, 8, 9およびそれ以上の値について具体的にテストすることで、異なるスケーリング行動を調査する。
• 再帰的分解法を用いて、与えられたプロトタイルが自身および他のプロトタイルの小さなコピーに分割可能かどうかをテストし、回転対称性を保つ方法を確認する。
• アンドリュース・パットン複体を用いて、得られたタイリング空間のコホモロジー的性質を分析し、特に第一および第二コホモロジー群への作用に注目する。
• 結果を整合性基準でフィルタリングする：すべてのプロトタイルでエッジの分解と向きが一致する場合に限り、マルチ・サブスティチューションまたはランダム・サブスティチューションシステムに組み合わせ可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般的手法[19]から導出されない新たな置換規則を発見できるか。それらはグローバルなn-fold回転対称性を持つ平面タイリングを生成するか。
• RQ2 非整数インフレーション因子を有する置換規則は、n-fold対称性を保つエッジ対エッジタイリングを生成できるか。その性質は何か。
• RQ3 これらの新しい置換のうち、第二コホモロジー群への非ユニモジュラー作用を示すものはどれか。これはその力学的スペクトルにどのような意味を持つのか。
• RQ4 同じプロトタイル集合上で、いくつの互換性のある置換規則が存在するか。それらをマルチ・サブスティチューションまたはランダム・サブスティチューションシステムに組み合わせられるか。
• RQ5 すべての成功した置換において一貫して現れる構造的または幾何的制約（例：エッジの向きのルール）は何か。それらは回転対称性とどのように関係しているか。

主な発見

• アルゴリズムは、非整数インフレーション因子を有する7-fold回転対称性の新たな置換規則を効果的に発見した。これらは[8]や[15]の族に属さないものも含まれる。
• λ₁ = 2 + 2cos(π/7)に対しては、12個の異なる置換規則が得られ、そのうち1つは第二コホモロジー群への非ユニモジュラー作用を示した。
• λ₂ = 2 + 2cos(π/8)に対しては、18個の互換性のある置換規則が得られ、9つのエッジ分解/向きの組み合わせがそれぞれ複数の結果を支持した。
• λ₃ = 2 + 2cos(π/9)に対しては、T(2,2,3)に対して36個の互換性のある結果、T(1,3,3)に対して5個、T(1,2,4)に対して3個が得られ、すべてランダム置換に組み合わせ可能であった。
• 図8(b)および図8(a)の左端のT(2,2,3)結果に由来するいくつかの置換は、第二コホモロジー群への非ユニモジュラー作用を示し、これは稀でトポロジカルに重要な性質である。
• 結果から、エッジの向きのルールが一貫していることが明らかになった：偶数倍のπ/nで接するエッジは、両方とも内向きまたは両方とも外向き（同じ向き）であり、奇数倍では逆向きとなる。これによりn-fold対称性は保たれるが、2n-fold対称性は保たれない。