[論文レビュー] A (concentration-)compact attractor for high-dimensional non-linear Schrödinger equations

Terence Tao|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2006

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 16被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、$ d \geq 5 $ の高次元、エネルギー下位臨界、質量上位臨界な非線形シュレーディンガー方程式に対して、有界な $ H^1 $ ノルムのもとで（濃度）コンパクトなアトラクターの存在を確立する。球対称解は漸近的に線形に進化する放射項と、$ H^1 $ でほぼ周期的軌道のコンパクト集合に収束する残差に分解され、散逸の欠如にもかかわらず、ソリトン分解推測の弱い形を支持する。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of large data solutions to Schrödinger equations $i u_t + Δu = F(u)$ in $\R^d$, assuming globally bounded $H^1_x(\R^d)$ norm (i.e. no blowup in the energy space), in high dimensions $d \geq 5$ and with nonlinearity which is energy-subcritical and mass-supercritical. In the spherically symmetric case, we show that as $t o +\infty$, these solutions split into a radiation term that evolves according to the linear Schrödinger equation, and a remainder which converges in $H^1_x(\R^d)$ to a compact attractor, which consists of the union of spherically symmetric almost periodic orbits of the NLS flow in $H^1_x(\R^d)$. This is despite the total lack of any dissipation in the equation. This statement can be viewed as weak form of the "soliton resolution conjecture". We also obtain a more complicated analogue of this result for the non-spherically-symmetric case. As a corollary we obtain the "petite conjecture" of Soffer in the high dimensional non-critical case.

研究の動機と目的

• 高次元（$ d \geq 5 $）のエネルギー下位臨界、質量上位臨界な非線形シュレーディンガー方程式に対する大データ解の長時間漸近的挙動を理解すること。
• 散逸や減衰のない方程式にもかかわらず、エネルギー空間 $ H^1 $ におけるNLSフローのコンパクトアトラクターを同定すること。
• 解を放射部とコンパクトに台を持つ残差に分解することで、ソリトン分解推測の弱い形を確立すること。
• Sofferの「ペチット推測」を高次元、非臨界の場合に証明すること。

提案手法

• べき乗型非線形性を満たす、$ \mathbb{R}^d $（$ d \geq 5 $）におけるNLS方程式 $ iu_t + \Delta u = F(u) $ の有界エネルギー解を分析し、エネルギー下位臨界および質量上位臨界条件を満たす。
• 濃度コンパクト性とプロファイル分解技術を用いて、それぞれが異なる周波数または空間スケールに関連する、漸近的に分離可能な成分に解を分解する。
• 非線形フロー $ S(t) $ 及び空間的分離下での漸近的加法性を用いて、重ね合わせられたプロファイルの力学を分析する。
• 放射項を除いた解の残差が $ H^1 $ でほぼ周期的軌道のコンパクト集合に収束することを確立する。
• ガリレオ変換および位相不変性の対称性とハミルトニアン構造を用いて保存量を保ち、軌道的安定性を分析する。
• Strichartz推定と局所理論を用いて非線形項を制御し、プロファイル分解における極限的議論を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界エネルギー解は、高次元NLS方程式において、放射部とコンパクトに台を持つ残差に漸近的に分解可能か？
• RQ2 散逸の欠如にもかかわらず、このような解の残差は $ H^1 $ 位相でコンパクトアトラクターに収束するか？
• RQ3 このアトラクターは、NLSフロー下でのほぼ周期的軌道の和集合として特徴付けられるか？
• RQ4 この分解は、エネルギー下位臨界、質量上位臨界な領域におけるソリトン分解推測の弱い形を支持するか？
• RQ5 Sofferの「ペチット推測」は、高次元、非臨界の場合に成立するか？

主な発見

• 球対称解について、$ t \to +\infty $ のとき、解は線形シュレーディンガー方程式に従って進化する放射項と、$ H^1 $ でコンパクトアトラクターに収束する残差に分解される。
• コンパクトアトラクターは、$ H^1 $ におけるNLSフローの球対称ほぼ周期的軌道の和集合から構成されるが、方程式にいかなる散逸も存在しないにもかかわらず成立する。
• アトラクターは（濃度）コンパクトである。これは、$ H^1 $ で前コンパクトであり、NLSフローに対して不変であることを意味する。
• この結果は、解が放射とコンパクトコアに分解されることを示し、ソリトン分解推測の弱い形を提供する。
• 球対称でない場合の解は、より複雑なが、類似の分解が得られ、残差は一般化された意味でコンパクトアトラクターに収束する。
• 解析により、高次元、非臨界、エネルギー下位臨界、質量上位臨界な設定におけるSofferの「ペチット推測」が確認された。