[論文レビュー] A condition for long-range order in discrete spin systems with application to the antiferromagnetic Potts model

Ron Peled, Yinon Spinka|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Theoretical and Computational Physics参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ℤ^d$ 格子上の近接スピン相互作用を有する離散スピン系における長距離秩序の一般条件を確立し、特に低温において反強磁性 $q$-状態ポット模型に、破れたサブラティス対称性（BSS）相が存在することを示している。主な結果として、普遍定数 $c>0$ を用いて $q_c(\mathbb{Z}^d) \geq c\,d^{1/20}\log^{-2/5}d$ が得られ、$q \geq 4$ の場合に高次元でエントロピー駆動の長距離秩序が成立することを示している。

ABSTRACT

We give a general condition for a discrete spin system with nearest-neighbor interactions on the $\mathbb{Z}^d$ lattice to exhibit long-range order. The condition is applicable to systems with residual entropy in which the long-range order is entropically driven. As a main example we consider the antiferromagnetic $q$-state Potts model and rigorously prove the existence of a broken sub-lattice symmetry phase at low temperature and high dimension -- a new result for $q\ge 4$. As further examples, we prove the existence of an ordered phase in a clock model with hard constraints and extend the known regime of the demixed phase in the lattice Widom-Rowlinson model.

研究の動機と目的

• 近接スピン相互作用を有する離散スピン系における長距離秩序の一般条件を確立すること、特にエネルギー的利点ではなくエントロピー的駆動による秩序の状況を想定すること。
• 低温における反強磁性 $q$-状態ポット模型に破れたサブラティス対称性（BSS）相が存在することを、長年の未解決問題として厳密に証明すること。
• 従来の $q=3$ の場合に限られていた高次元における秩序相の範囲を、$q \geq 4$ にまで拡張すること。
• 構造的条件を同定することで、他の系、例えばハードコア制約付きクロック模型やウィドム・ロウリンソン格子模型などに一般化可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• エントロピー駆動の秩序を考慮する一般化されたペイエルズ型議論を開発し、ここでドメインウォールはエネルギーではなくエントロピーを減少させるため、標準的なペイエルズ議論は適用できない。
• 格子を $X_*$、$X_{\text{bad}}$、$X_{\text{overlap}}$ の領域に分解し、$X_*$ は関心の領域、$X_{\text{bad}}$ は非対称な近傍を持つ頂点や制限された辺を含む。
• パターン $(A,B)$ を、相互作用 $\lambda_{a,b}$ が最大値 $\lambda_{\text{max}}$ を達成するスピン集合のペアと定義し、$\lambda_A\lambda_B$ の重みを導入してその優位性を定量化する。
• 一様な偶奇性（奇数／偶数）を持つ連結領域のマクロな形状に基づく粗粒化スキームを用い、高次元ではこのような集合のエントロピーが制約のない集合と比べて著しく低減されることを活用する。
• 制限された辺の数と非対称な近傍の数を分析することで、配置のエントロピーを評価し、与えられた破壊サイズ $(L,M)$ の確率に対する指数的減衰推定を得る。
• 標準的な平衡統計力学的手法を適用し、極端な平衡状態における混合相関関数の指数的減衰を導出し、長距離秩序の存在を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反強磁性 $q$-状態ポット模型は、高次元格子 $\mathbb{Z}^d$ 上で $q \geq 4$ かつ低温において、破れたサブラティス対称性を介して長距離秩序を示すか？
• RQ2 近接スピン相互作用を有する離散スピン系において、エントロピー駆動の長距離秩序を保証する一般条件を定式化できるか？
• RQ3 高次元におけるドメインウォールやドロップレットのどのような構造的性質が、エネルギー的コストが存在しないにもかかわらず、そのエントロピーを十分に抑制し、長距離秩序を可能にするか？
• RQ4 奇数パリティの連結集合をマクロな形状制約のもとで粗粒化することで、エントロピーがどのように低下し、厳密なペイエルズ型推定が可能になるか？
• RQ5 このフレームワークは、ハードコアクロック模型やウィドム・ロウリンソン模型などの他のモデルへどの程度拡張可能か、新たな秩序相の証明に応用可能か？

主な発見

• 本稿は、次元 $d$ が十分に大きいとき、任意の $q$ に対して反強磁性 $q$-状態ポット模型が $\mathbb{Z}^d$ 上に破れたサブラティス対称性（BSS）相を有することを厳密に証明した。
• 臨界状態数の下界を確立した：普遍定数 $c>0$ を用いて $q_c(\mathbb{Z}^d) \geq c\,d^{1/20}\log^{-2/5}d$ であり、$q_c$ が次元 $d$ に対してべき乗則的レートで増加することを示している。
• 高次元におけるドメインウォールのエントロピーは、パリティ制約とマクロな形状の正則性により抑制され、エネルギー的コストがなくともペイエルズ型議論が可能になる。
• 破壊サイズ $(L,M)$ の確率は、$\exp\left(-\frac{c}{q^5\log d}\left(\frac{L}{d} + \frac{M}{qd^{1/4}}\right)\right)$ の指数的減衰を示し、長距離秩序の存在を支持する。
• 各極端な平衡状態において、混合相関関数の指数的減衰が確立され、長距離秩序の存在が確認された。
• 本手法はポット模型に限らず、ハードコアクロック模型において秩序相の存在を証明し、格子上のウィドム・ロウリンソン模型における混合相の既知の範囲を拡張した。