[論文レビュー] A condition for scattered linearized polynomials involving Dickson matrices

Corrado Zanella|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 24被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、有限体上の線形化多項式が散在するかどうかを判定するための、ディクソン行列を用いた新しい条件を導入する。この性質は射影幾何学および符号理論において重要である。著者らはこの基準を2つの二項式に適用する。まず、$x^{q^s} + \delta x^{q^n - q^s}$ が $N_{q^n/q}(\delta) = 1$ のとき、散在しないことを証明する。次に、平面代数曲線を用いて $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$ が散在するための必要十分条件を確立する。この結果により、このような多項式の希少性が解明され、$n \geq 5$ のとき $x^q + b x^{q^2}$ は常に散在しないことが示される。

ABSTRACT

A linearized polynomial over $\mathbb F_{q^n}$ is called scattered when for any $t,x\in\mathbb F_{q^n}$, the condition $xf(t)-tf(x)=0$ holds if and only if $x$ and $t$ are $\mathbb F_q$-linearly dependent. General conditions for linearized polynomials over $\mathbb F_{q^n}$ to be scattered can be deduced from the recent results in [4,7,15,19]. Some of them are based on the Dickson matrix associated with a linearized polynomial. Here a new condition involving Dickson matrices is stated. This condition is then applied to the Lunardon-Polverino binomial $x^{q^s}+\delta x^{q^{n-s}}$, allowing to prove that for any $n$ and $s$, if $\mathbb N_{q^n/q}(\delta)=1$, then the binomial is not scattered. Also, a necessary and sufficient condition for $x^{q^s}+bx^{q^{2s}}$ to be scattered is shown which is stated in terms of a special plane algebraic curve.

研究の動機と目的

• 有限体 $\mathbb{F}_{q^n}$ 上の線形化多項式が散在するかどうかを判定するための、ディクソン行列に基づく新しい代数的条件を開発すること。
• $N_{q^n/q}(\delta) = 1$ のとき、ルナルドン＝ポルヴィーノの二項式 $x^{q^s} + \delta x^{q^n - q^s}$ が散在可能かどうかという未解決の問題を解消すること。
• 二項式 $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$ が散在するための必要十分条件を、平面代数曲線の観点から表現すること。
• $n \geq 5$ のとき、$x^q + b x^{q^2}$ が常に散在しないことを示すことにより、このような多項式の希少性を確認すること。

提案手法

• 線形化多項式 $f(x) = \sum_{i=1}^{n-1} a_i x^{\sigma^i}$ に対して、$\sigma = q^s$、$\gcd(s,n) = 1$、$\sigma$ が $q$ のべきであると仮定し、一般化された $\sigma$-行列（ディクソン）を導入する。
• 新しい多項式 $g(t) = -f(x)t + f(xt)$ を定義し、$f(x)$ と関連する $\sigma$-行列 $M_{\sigma,g}$ を導入する。この行列は、$xf(t) - t f(x)$ の核構造を捉える。
• $f(x)$ が散在するための必要十分条件として、すべての $x \in \mathbb{F}_{q^n}^*$ に対して、$M_{\sigma,g}$ の $(n-1) \times (n-1)$ 小行列式が正則であること、すなわち非特異であること、を示す。
• ラプラス展開およびトレースとノルムの性質を用いて、散在性の条件を、$z = \delta x^{q^n - 2q^s}$ に対して $\sum_{i=0}^{n-1} z^{(\sigma^i - 1)/(\sigma - 1)} = 0$ という単一の式に還元する。
• ルナルドン＝ポルヴィーノの二項式にこの条件を適用する際、$z = \delta x^{q^n - 2q^s}$ を代入し、ノルム条件 $N_{q^n/q}(\delta) = 1$ を解析する。これにより、和の式の解の存在が示される。
• $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$ については、曲線 $b^{-1}X^{q-1} + Y^{q^s - 1} + 1 = 0$ 上に、$\operatorname{Tr}_{q^n/q}(y_0) = 0$ を満たす点 $(x_0, y_0) \in \mathbb{F}_{q^n}^{*2}$ が存在するかどうかという条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N_{q^n/q}(\delta) = 1$ のとき、ルナルドン＝ポルヴィーノの二項式 $x^{q^s} + \delta x^{q^n - q^s}$ は散在するか？
• RQ2 条件 $\gcd(s,n) = 1$ の下で、二項式 $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$ が散在するための必要十分条件は何か？
• RQ3 $n \geq 5$ のとき、多項式 $x^q + b x^{q^2}$ は散在可能か？
• RQ4 ディクソン行列の構造は、線形化多項式の散在性とどのように関係しているか？

主な発見

• ルナルドン＝ポルヴィーノの二項式 $x^{q^s} + \delta x^{q^n - q^s}$ は、$N_{q^n/q}(\delta) = 1$ のとき散在しない。これは長年の未解決問題を解消する。
• $n = 5$ のとき、多項式 $x^q + b x^{q^2}$ はすべての $b \in \mathbb{F}_{q^5}^*$ に対して非散在的であることが確認され、この場合の存在しないことを裏付ける。
• 二項式 $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$ が散在するための必要十分条件は、代数曲線 $b^{-1}X^{q-1} + Y^{q^s - 1} + 1 = 0$ が、$x_0, y_0 \in \mathbb{F}_{q^n}^*$ かつ $\operatorname{Tr}_{q^n/q}(y_0) = 0$ を満たす点 $(x_0, y_0)$ を含まないことである。これにより幾何的特徴づけが得られる。
• ルナルドン＝ポルヴィーノの二項式が散在しなくなるための条件 $N_{q^n/q}(\delta) = 1$ は、必要条件であることが示され、$n=4$、$s=1$、および奇数 $n$ の場合の先行結果を一般化する。
• $(n-1)$ 次小行列式に基づく新しい条件により、散在性の非成立を確認するための単一の式テストが可能となり、2つの行列式の検査よりも効率的である。
• $n \geq 5$ のとき、$b \neq 0$ であるすべての $x^q + b x^{q^2}$ は散在しない。これは、曲線の条件と最近得られたトレース方程式の解の存在に関する結果を組み合わせることで示された。