[論文レビュー] A conditional limit theorem for random walks under extreme deviation

Michel Broniatowski, Zhansheng Cao|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、軽尾的かつ正則性を満たす条件下で、i.i.d. ランダムウォークの極端な偏差下での条件付き極限定理を確立する。$ S_n/n = a_n $ かつ $ a_n \to \infty $ のとき、$ X_1 $ の条件付き分布は変動ノルムで $ a_n $ における傾き分布に収束することを示す。この結果は、古典的なギブズ条件付き原理を極端な偏差領域に拡張し、2次項の展開を用いた条件付き密度の局所近似を提供する。

ABSTRACT

This paper explores a conditional Gibbs theorem for a random walkinduced by i.i.d. (X_{1},..,X_{n}) conditioned on an extreme deviation of its sum (S_{1}^{n}=na_{n}) or (S_{1}^{n}>na_{n}) where a_{n} ightarrow\infty. It is proved that when the summands have light tails with some additional regulatity property, then the asymptotic conditional distribution of X_{1} can be approximated in variation norm by the tilted distribution at point a_{n}, extending therefore the classical LDP case.

研究の動機と目的

• $ S_n/n = a_n $ かつ $ a_n \to \infty $ のとき、$ X_1 $ の条件付き分布の漸近的挙動を調査すること。
• 定数 $ a > \mathbb{E}[X_1] $ に対して有効な古典的ギブズ条件付き原理を、増大する $ a_n $ の場合に拡張すること。
• 軽尾的かつ正則性条件の下で、条件付き分布と $ a_n $ における傾き分布との間の変動ノルム収束を確立すること。
• 2次項のエッジワース型展開を用いて、条件付き密度の局所近似を提供すること。

提案手法

• 極端な偏差 $ a_n \to \infty $ の下で、$ S_n/n = a_n $ を条件とする i.i.d. 列 $ (X_1, \dots, X_n) $ を、局所的条件付き原理を用いて条件づける。
• モーメント母関数 $ \Phi(t) $ に対して $ m(t) = \frac{d}{dt} \log \Phi(t) $ を満たすパラメータ $ t $ を持つ傾き分布 $ \pi^a $ を用いる。
• 正則変動関数およびラプラス法を用いて、尤度のモード付近での条件付き密度の近似にための漸近的解析手法を適用する。
• 3次モーメント $ \mu_3(t) $ と分散 $ s^2(t) $ を用いて、条件付き密度の2次項展開を導出し、極限において高階項が消えることを示す。
• 真の条件付き密度と傾き密度の間の $ L^1 $-距離をバインドすることで、変動ノルムにおける収束を確立する。
• 密度尾部 $ p(x) \sim x^{-\beta}L(x) $（$ \beta > 1 $）に対する正則変動理論を用い、$ t \to \infty $ の下で $ \mu_3(t) $ と $ s^2(t) $ の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ a_n \to \infty $ の下で、$ S_n/n = a_n $ を条件とする $ X_1 $ の条件付き分布は、$ a_n $ における傾き分布に収束するか？
• RQ2 古典的な大偏差原理と比較して、極端な偏差下での変動ノルムにおける収束速度はどのように振る舞うか？
• RQ3 2次エッジワース型補正は、極端な偏差領域における条件付き密度の近似を改善できるか？
• RQ4 元の分布の正則性および尾部挙動（例えば、正則変動尾）は、条件付き分布の収束にどのような役割を果たすか？
• RQ5 3次モーメント $ \mu_3(t) $ が分散に対して無視可能になる条件は何か？ これにより、傾き近似の有効性が保証される。

主な発見

• $ a_n \to \infty $ の下で、軽尾的かつ正則性条件の下で、$ X_1 $ の条件付き分布は全変動ノルムで $ \pi^{a_n} $ に収束する。
• $ h \in R_\beta $（$ \beta > 1 $）に対して、$ \mu_3(t) \sim \frac{M_6 - 3}{2} \psi''(t) $ であり、$ \mu_3(t)/s^3(t) \to 0 $ であるため、高階項は消える。
• $ h \in R_\infty $ の場合、条件 $ \psi(t)\epsilon(t)/t \to 0 $ の下で $ \mu_3(t)/s^3(t) \to 0 $ であり、ガウス近似の有効性が保証される。
• 分散 $ s^2(t) \sim \psi'(t) $ であり、累積生成関数の2次微分は $ h''(\hat{x}) \sim \beta(\beta-1)\psi(t)^{\beta-2}l_0(\psi(t)) $ を満たし、尤度の曲率を制御する。
• 条件付き密度と傾き密度の間の $ L^1 $-距離は0に収束し、変動ノルムにおける収束が確認される。
• この結果は、定数偏差から発散する $ a_n $ へのギブズ原理の一般化を示しており、極端な偏差下ですべての和項 $ X_i $ が $ a_n $ の周辺に集中し、条件付き分布が $ \pi^{a_n} $ で近似可能であることを示している。