[論文レビュー] A Conditional Quasi-greedy Basis of l_1

S. J. Dilworth, David Mitra|ArXiv.org|Aug 15, 2000

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Lindenstraussの単調基本列を用いて、$\ell_1$ における条件付き準貪欲基底を構成し、$\ell_1$ が非同値な正規化基底でありながら準貪欲であるが条件的であるものを持つことを示している。主な貢献は、Wojtaszczykの問いを解決する形でこのような基底の存在を示したことであり、関連する係数関数型は準貪欲でないことを示している。

ABSTRACT

We show that the Lindenstrauss basic sequence in l_1 may be used to construct a conditional quasi-greedy basis of l_1, thus answering a question of Wojtaszczyk. We further show that the sequence of coefficient functionals for this basis is not quasi-greedy.

研究の動機と目的

• Wojtaszczykの $\ell_1$ における条件付き準貪欲基底の存在に関する未解決問題を解決すること。
• $\ell_1$ が定数係数に対して非自明な基底を一意に持たないことを示すこと。
• 構成された基底に付随する係数関数型の準貪欲性を分析すること。
• 新基底の係数関数型が、基底が準貪欲であっても、実際に準貪欲でないことを確立すること。

提案手法

• Lindenstraussの単調的かつ条件的な基本列 $\{x_i\}_{i=1}^\infty$ を $\ell_1$ に用い、$x_i = e_i - \frac{1}{2}(e_{2i+1} + e_{2i+2})$ と定義する。
• 係数関数型 $x_i^*$ を、$y_i^* \in \ell_\infty$ から得る。$y_i^*$ は再帰的系列 $\alpha_i$ を用いて $y_i^* = \sum_{j=1}^{|α_i|} (1/2)^{j-1} e_{\alpha_i(j)}$ と構成される。
• 集合 $B_0, B_1, \dots, B_k$ を用いた再帰的帰納法を用いて、ベクトル $x$ のノルムを分解し、貪欲作用素の作用を分析する。
• 三角不等式およびsuppが互いに素であることを用いて、重要な不等式 $\|x+y\| \geq \|P_{B_0}x\| + \|P_{C_0}x\| + \frac{1}{2}\|P_{A_0}x\|$ を導出する。
• 部分和 $\sum_{i=1}^{2^{n+1}-2} \epsilon_i x_i^*$ の分析と、$\|\sum x_i^*\|$ と $\|\sum (-1)^i x_i^*\|$ の比較により、準貪欲性の境界を確立する。
• 再帰的構成により、$\|\sum x_i^*\| \geq n/2$ かつ $\|\sum (-1)^i x_i^*\| \leq 1$ であることを示し、これにより一様有界性に反するため、$\{x_i^*\rangle$ は準貪欲でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\ell_1$ は条件付き準貪欲基底を持つのか？
• RQ2 $\ell_1$ における準貪欲基底が条件的であることは可能か？ これは、無条件基底に対して強い一意性を持つ空間であるが、その性質と矛盾しないか？
• RQ3 準貪欲基底の係数関数型は、必ずしも準貪欲であるのか？
• RQ4 基底の準貪欲性とその係数関数型の準貪欲性の関係は何か？

主な発見

• Lindenstraussの基本列から構成された、$\ell_1$ における条件付き準貪欲基底が存在する。
• 基底は、貪欲作用素 $\mathcal{G}_m$ が $\|\mathcal{G}_m(x)\| \leq C\|x\|$ を一様に満たすため、準貪欲である。
• 係数関数型 $\{x_i^*\}_{i=1}^\infty$ は準貪欲でない。これは、ノルム比 $\|\sum x_i^*\| / \|\sum (-1)^i x_i^*\| \to \infty$ であることを示す。
• 特に、$\|\sum_{i=1}^{2^{n+1}-2} x_i^*\| \geq n/2$ である一方で、$\|\sum_{i=1}^{2^{n+1}-2} (-1)^i x_i^*\| \leq 1$ であり、これは準貪欲条件を破る。
• この構成により、$\ell_1$ は標準基底と同値でないが正規化された準貪欲基底を持つことが示され、同値性の下での一意性が成り立たないことが示される。
• 集合 $B_0, B_1, \dots, B_k$ を用いた再帰的分解法により、ノルム推定を制御でき、重要な不等式 $\|x+y\| \geq \|P_{B_0}x\| + \|P_{C_0}x\| + \frac{1}{2}\|P_{A_0}x\|$ の証明が可能となる。