[論文レビュー] A conditionally exactly solvable generalization of the potential step

A. López-Ortega|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2015

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非相対論的量子力学における、スーパーシンメトリー量子力学（SUSYQM）を介してパートナーポテンシャルとして導出された、条件付きに正確に解ける（CES）ポテンシャルの新クラスを紹介する。これらのポテンシャルに対するシュレーディンガー方程式は、パラメータの条件を満たす場合に正確に解かれ、解は非定数係数を伴う2つの超幾何関数の線形結合として表される。主な貢献は、反射・透過振幅および準正規振動数の明示的計算であり、これにより、合流超幾何関数を含む既存の可解ポテンシャルに関する結果が、非定数係数を伴う標準超幾何関数を含むより広いクラスへと拡張される。

ABSTRACT

Motivated by the interest in non-relativistic quantum mechanics for determining exact solutions to the Schrodinger equation we give two potentials that are conditionally exactly solvable. The two potentials are partner potentials and we obtain that each linearly independent solution of the Schrodinger equation includes two hypergeometric functions. Furthermore we calculate their reflection and transmission amplitudes. Finally we discuss some additional properties of these potentials.

研究の動機と目的

• 量子力学における、ポテンシャル段階を一般化する新しい条件付きに正確に解ける（CES）ポテンシャルの特定と構築。
• 合流超幾何関数を含む既存の可解ポテンシャルに関する結果を、非定数係数を伴う標準超幾何関数を含むより広いクラスへと拡張すること。
• 特定のパラメータ条件の下で、これらのポテンシャルに対するシュレーディンガー方程式の正確な解を導出すること。
• 散乱解析を可能にするために、これらのポテンシャルの反射・透過振幅および準正規振動数を計算すること。
• これらのポテンシャルが、パラメータの反射対称性を伴う乗法的形状不変性を示すことを確立すること。これは、従来の系列に基づく形状不変ポテンシャルとは区別される。

提案手法

• ポテンシャルは、超ポテンシャル $ W(x,m) = -m \sqrt{e^x / (e^x + 1)} $ を用いてパートナーポテンシャルとして構築され、$ V_{\pm}(x,m) = W^2 \pm dW/dx $ となる。
• 変数変換を用いて径数方程式を超幾何型微分方程式に変換することで、シュレーディンガー方程式を正確に解く。
• 解は、エネルギーおよびポテンシャルパラメータに依存する非定数係数を伴う2つの超幾何関数 $ {}_2F_1(a,b;c;z) $ の線形結合として表される。
• 散乱振幅は、波動関数の漸近的挙動から導出され、超幾何関数およびガンマ関数の性質が用いられる。
• 準正規振動数は、振幅式に現れるガンマ関数の解析的構造を分析することで、透過振幅の極として特定される。
• 形状不変性条件は、$ V_+(x,m) = V_-(x,-m) $ を示すことで検証され、パラメータの反射 $ \alpha_1 = -\alpha_0 $ を伴う乗法的形状不変性が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャル段階を一般化し、非定数係数を伴う超幾何関数で表される解をもたらす、新しい条件付きに正確に解けるポテンシャルのクラスを構築できるか？
• RQ2 これらのポテンシャルにおける反射・透過振幅はどのように振る舞い、エネルギーおよびパラメータ $ m $ に依存するか？
• RQ3 これらのポテンシャルの準正規振動数は何か？ また、標準的ポテンシャル段階のそれらと比較してどう異なるか？
• RQ4 これらのポテンシャルは形状不変か？ もし形状不変であれば、そのパラメータ依存性を支配する対称性は何か？
• RQ5 波動関数に現れる2つの超幾何関数の和は、単一の超幾何関数に簡約可能か？ それとも、この和は解の本質的性質であるか？

主な発見

• パートナーポテンシャル $ V_{\pm}(x,m) $ に対するシュレーディンガー方程式は、エネルギー $ \omega^2 $ が特定の条件を満たす場合にのみ正確に解けるため、条件付きに正確に解けるとされる。
• シュレーディンガー方程式の線形独立な各解は、非定数係数を伴う2つの超幾何関数 $ {}_2F_1 $ の和として表され、従来の合流超幾何関数に基づく結果を一般化する。
• 反射・透過振幅が明示的に導出され、$ V_- $ の透過振幅 $ T^S $ は $ \omega_S = -\frac{i}{2}(n+1 - \frac{m^2}{n+1}) $、$ V_+ $ の $ T^+ $ は $ \omega_+ = -\frac{i}{4}(n+1 - \frac{4m^2}{n+1}) $、$ n=0,1,2,\dots $ で極を示す。
• 両方のポテンシャルの準正規振動数は透過振幅の極から特定され、異なる漸近的挙動を示す：$ \omega_S \sim -i n / 2 $ および $ \omega_+ \sim -i n / 4 $（$ n $ が大きい場合）、これは異なる減衰率を示している。
• これらのポテンシャルは $ \alpha_1 = -\alpha_0 $ を伴う乗法的形状不変性を示し、形状不変性条件は $ R_0(\alpha_0) = 0 $ を満たす。これは、従来の系列に基づく形状不変ポテンシャルとは区別される。
• ポテンシャルの不定積分は発散し、解に現れる超幾何関数の和は、既知の変換では単一の超幾何関数に簡約できない。これは、解の内在的な複雑性を示している。