[論文レビュー] A conformal approach to numerical calculations of asymptotically flat spacetimes

Anil Colpan Zenginoglu|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2007

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、双曲的スライcingと conformal field equations を用いて計算領域を未来の光的無限大 ($\mathscr{I}^+$) まで拡張することにより、漸近的に平坦な時空を数値的にシミュレートする conformal アプローチを提示する。正の conformal 要因 $\Omega > 0$ を導入することで、無限大における時空の正則性が保証され、人工的な時的境界を必要とせず、安定的かつ高精度に重力波の時間発展をシミュレート可能となる。球対称なテストにおいて収束性と正しい漸近的挙動が得られている。

ABSTRACT

This thesis is concerned with the development and application of conformal techniques to numerical calculations of asymptotically flat spacetimes. The conformal compactification technique enables us to calculate spatially unbounded domains, thereby avoiding the introduction of an artificial timelike outer boundary. We construct in spherical symmetry an explicit scri-fixing gauge, i.e. a conformal and a coordinate gauge in which the spatial coordinate location of null infinity is independent of time so that no resolution loss in the physical part of the conformal extension appears. Going beyond spherical symmetry, we develop a method to include null infinity in the computational domain. With this method, hyperboloidal initial value problems for the Einstein equations can be solved in a scri-fixing general wave gauge. To study spatial infinity, we discuss the conformal Gauss gauge and the reduced general conformal field equations from a numerical point of view. This leads us to the first numerical calculation of the entire Schwarzschild-Kruskal solution including spatial, null and timelike infinity and the domain close to the singularity. After developing a three dimensional, frame based evolution code with smooth inner and outer boundaries we calculate a radiative axisymmetric vacuum solution in a neighbourhood of spatial infinity represented as a cylinder including a piece of null infinity. In this context, a certain component of the rescaled Weyl tensor representing the radiation field is calculated unambiguously with respect to an adapted tetrad at null infinity.

研究の動機と目的

• 孤立した重力的系の数値的安定なシミュレーション手法を開発し、未来の光的無限大 ($\mathscr{I}^+$) を正確に取り扱うこと。
• 数値相対性理論における人工的時的境界の制限を、時空の conformal なコンactification によって克服すること。
• 漸近的に平坦な時空の物理的構造を保つ一般化された conformal field equations に基づく conformal アプローチを実装すること。
• 球対称なテストケースにおいて収束性と正しい放射エネルギー抽出を示すこと。
• 孤立した源からの重力波信号を解釈するための幾何学的に一貫したフレームワークを提供すること。

提案手法

• 本手法は、未来の光的無限大 ($\mathscr{I}^+$) を有限の計算領域にマップするために、正の conformal 要因 $\Omega > 0$ を用いた双曲的スライシングを採用する。
• 時空を空間的無限大と $\mathscr{I}^+$ を正則な点として含む正則なフォリエーションを構築するために、conformal Gauss 軸を用いる。
• 還元された一般化された conformal field equations を数値的に解き、conformal 正則性と安定性を維持するようにゲージ源関数を選択する。
• $S^2$ 上の数値的実装では、スペクトル法とフレームに基づく定式化を用いて2次元球面上のテンソリアル量を扱う。
• 空間的無限大における conformal 構造を解消するため、空間的無限大におけるシリンダーを導入し、$\mathscr{I}^+$ への一貫したマッチングを可能にする。
• グリッド境界には、conformal 時空発展系から導かれた特徴的境界条件を適用し、不自然な反射を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未来の光的無限大 ($\mathscr{I}^+$) を人工的境界を用いずに数値相対性理論のシミュレーションに組み込むにはどうすればよいか？
• RQ2 conformal アプローチは、球対称性における漸近的に平坦な時空に対して、安定的かつ収束する数値的解を得られるか？
• RQ3 空間的無限大における conformal 構造は、どのように正則化され、数値的に実装できるか？
• RQ4 conformal 要因 $\Omega$ は、$\mathscr{I}^+$ における場の式の正則性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 conformal 手法を用いて、数値的解から重力波を正確に抽出するにはどうすればよいか？

主な発見

• 双曲的スライシングアプローチにより、計算領域が $\mathscr{I}^+$ を含むように拡張され、未来の光的無限大における重力波形の抽出が可能となった。
• 球対称性の下での数値的テストでは2次収束が確認され、スキームの安定性と精度が裏付けられた。
• 本手法は、線形化重力波理論に一致するWeyl曲率の $1/r$ の減衰を正しく捉えている。
• conformal Gauss 軸により、空間的無限大の正則な取り扱いが可能となり、無限大におけるシリンダーが $\mathscr{I}^+$ へのマッチングのための幾何学的枠組みを提供している。
• $S^2$ 上のフレームの実装により、2次元球面上でのテンソリアル量の正確な時間発展が可能となり、放射場の表現に不可欠である。
• 正の conformal 要因 $\Omega > 0$ の使用により、$\mathscr{I}^+$ における場の式が正則のままであり、数値的発展における特異性が回避された。