[論文レビュー] A conforming discontinuous Galerkin finite element method

Xiu Ye, Shangyou Zhang|ArXiv.org|Apr 6, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、適合有限要素法の単純さと不連続近似の柔軟性を組み合わせた、新しい適合不連続ガラーキン（conforming DG）有限要素法を提案する。古典的勾配を対称的かつ正定値な変分式において弱勾配に置き換えることで、多項式次数 $k \geq 1$ に対して、離散 $H^1$ ノルムでは $O(h^k)$、$L^2$ ノルムでは $O(h^{k+1})$ の最適収束率を達成する。数値結果により、$k=1$ から $5$ まで理論と一致する収束が確認された。本手法は実装を簡素化しながら、境界条件の強い強制と最適な精度を維持する。

ABSTRACT

A new finite element method with discontinuous approximation is introduced for solving second order elliptic problem. Since this method combines the features of both conforming finite element method and discontinuous Galerkin (DG) method, we call it conforming DG method. While using DG finite element space, this conforming DG method maintains the features of the conforming finite element method such as simple formulation and strong enforcement of boundary condition. Therefore, this finite element method has the flexibility of using discontinuous approximation and simplicity in formulation of the conforming finite element method. Error estimates of optimal order are established for the corresponding discontinuous finite element approximation in both a discrete $H^1$ norm and the $L^2$ norm. Numerical results are presented to confirm the theory.

研究の動機と目的

• 適合有限要素法の単純さを保ちつつ、不連続近似を可能にする有限要素法の開発。
• 複雑な数値フラックスやペナルティ項を回避することで、不連続ガラーキン法の定式化を簡素化すること。
• 対称的かつ正定値なシステムを用いて、離散 $H^1$ および $L^2$ ノルムにおける最適収束率を達成すること。
• 弱ガラーキンフレームワークを用いて、ディリクレ境界条件を明示的に強制するための簡単な実装を可能にすること。
• 多項式次数 $k=1$ から $5$ まで理論的収束率が数値的に検証されること。

提案手法

• 三角形分割された領域 $\Omega$ 上で、次数 $k \geq 1$ の局所多項式からなる不連続ガラーキン有限要素空間 $V_h$ を用いる。
• 古典的勾配 $\nabla u_h$ を、各要素上で局所的 $L^2$-射影により定義される弱勾配 $\nabla_w u_h$ に置き換える。
• 変分式は、すべての $v_h \in V_h^0$ に対して $ (\nabla_w u_h, \nabla_w v_h) = (f, v_h) $ と定式化され、境界 $\partial\Omega$ で $u_h = I_h g$ となる。
• 弱勾配は局所的に計算されるため、計算効率が高く、対称的かつ正定値なシステム行列が得られる。
• ディリクレデータ $g$ の補間 $I_h g$ を用いて境界条件を強く強制する。
• 本手法は、適合有限要素法の単純さを継承するとともに、不連続近似によるDG法の柔軟性を獲得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適合有限要素法の単純さを保ちつつ、不連続ガラーキン法としての柔軟性を持つ定式化が可能か？
• RQ2 弱勾配の使用により、DG定式化におけるペナルティ項や数値フラックスの必要性が排除できるか？
• RQ3 得られるシステムが最適収束率を達成しつつも、対称的かつ正定値のままであるか？
• RQ4 追加の自由度や安定化を導入せずに、境界条件を強く強制できるか？
• RQ5 数値実験により、多項式次数 $k=1$ から $5$ まで理論的収束次数が確認されるか？

主な発見

• 定理6により、$k \geq 1$ に対して離散 $H^1$ ノルムにおける最適収束 $O(h^k)$ が保証される。
• 双対問題の $H^2$-正則性のもとで、$L^2$ ノルムにおける最適収束 $O(h^{k+1})$ が定理7で確立された。
• $k=1$ から $5$ までの数値結果は、理論と一致する収束率を示す：$L^2$ ノルムでは約 $2k$、離散 $H^1$ ノルムでは $k$。
• $P_1$ 要素では、$L^2$ ノルム誤差率は約2.09であり、メッシュの細分化に伴い2.00に近づく。
• $P_5$ 要素では、$L^2$ ノルム誤差率は6.00に達し、理論通り $O(h^6)$ の収束が確認された。
• 本手法は対称的かつ正定値なシステム行列を生成し、標準的なIPDG法と比較して解法手順が簡素化された。