[論文レビュー] A connection between multiresolution wavelet theory of scale N and representations of the Cuntz algebra O_N

Ola Bratteli, Palle E. T. Jørgensen|ArXiv.org|Dec 19, 1996

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、スケールNのマルチレゾリューションウェーブレット理論とCuntz代数$ olimits_N$の表現との間の明確な数学的関係を確立する。$L^2(\mathbb{R})$におけるウェーブレットスケーリング関数およびマルチレゾリューション構造が、$L^2(\mathbb{T})$上の$ olimits_N$の特定の表現に対応することを示し、ウェーブレット理論にC*-代数的枠組みを提供するとともに、代数的手法によるウェーブレットの構成を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we give a short survey of a connection between the theory of wavelets in L^2(R) and certain representations of the Cuntz algebra on L^2(T).

研究の動機と目的

• スケールNのマルチレゾリューションウェーブレット系とCuntz代数$\mathcal{O}_N$の表現との間の厳密な対応関係を確立すること。
• $L^2(\mathbb{R})$におけるウェーブレットスケーリング関数および関連する部分空間が、$L^2(\mathbb{T})$上の$\mathcal{O}_N$の表現からどのように生じるかを示すこと。
• Cuntz代数の関係を用いて、マルチレゾリューション解析(MRA)構造のC*-代数的解釈を提供すること。
• ウェーブレット理論と作用素代数を統合し、基本的なウェーブレット構成プロセスが$\mathcal{O}_N$の代数的関係にどのように符号化されているかを示すこと。
• $\mathcal{O}_N$の表現論を用いたウェーブレットの構築の基盤を築き、ウェーブレット系に新たな代数的視点を提供すること。

提案手法

• 等長作用素$S_1, \dots, S_N$によって定義されるCuntz代数$\mathcal{O}_N$を用いる。ここで$\sum_{i=1}^N S_i S_i^* = I$および$S_i^* S_j = \delta_{ij}I$を満たす。
• フーリエ基底と$N$進スケーリング構造を用いて、$L^2(\mathbb{T})$上に$\mathcal{O}_N$の表現を構成する。
• ユニタリ同値を介して、$L^2(\mathbb{R})$におけるマルチレゾリューション構造（スケーリング関数およびウェーブレット部分空間を含む）を$\mathcal{O}_N$の表現空間へ写像する。
• $L^2(\mathbb{R})$におけるスケーリング関数$\phi$と、$L^2(\mathbb{T})$上の$\mathcal{O}_N$表現における循環ベクトルとの間の対応関係を確立する。
• $\mathcal{O}_N$に関連する等長移動作用素を用いて、ウェーブレット理論に内在する拡大および平行移動作用をモデル化する。
• $\mathcal{O}_N$の表現論の理論を応用し、表現空間内の循環ベクトルから正規直交ウェーブレット基底を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケールNのマルチレゾリューションウェーブレット系は、Cuntz代数$\mathcal{O}_N$を用いてどのように代数的に特徴付けられるか？
• RQ2 $L^2(\mathbb{T})$上の$\mathcal{O}_N$表現におけるスケーリング関数と循環ベクトルとの間の明確な対応関係は何か？
• RQ3 基本的なウェーブレット構成プロセス（拡大、平行移動、直交性）は、$\mathcal{O}_N$の関係から導出可能か？
• RQ4 スケールNのマルチレゾリューション解析における部分空間は、$\mathcal{O}_N$表現の不変部分空間とどのように関係するか？
• RQ5 $\mathbb{R}$の$N$進構造は、$L^2(\mathbb{R})$におけるウェーブレットと$\mathcal{O}_N$の$L^2(\mathbb{T})$表現を結ぶ上で果たす役割は何か？

主な発見

• $L^2(\mathbb{R})$におけるスケールNのマルチレゾリューションウェーブレット系は、$L^2(\mathbb{T})$上のCuntz代数$\mathcal{O}_N$の表現に正確に対応する。
• $L^2(\mathbb{R})$におけるスケーリング関数$\phi$は、$L^2(\mathbb{T})$上の$\mathcal{O}_N$表現における循環ベクトルとユニタリ同値である。
• マルチレゾリューション解析におけるウェーブレット部分空間は、$\mathcal{O}_N$表現空間における直交補空間として実現される。
• Cuntz代数$\mathcal{O}_N$の基本的関係、特に$\sum_{i=1}^N S_i S_i^* = I$および$S_i^* S_j = \delta_{ij}I$は、ウェーブレット理論における拡大および直交性条件を符号化している。
• マルチレゾリューションフレームワークを用いた正規直交ウェーブレット基底の構成は、$\mathcal{O}_N$表現における循環ベクトルからの基底構成と等価である。
• 本論文は、すべての重要なウェーブレット操作が$\mathcal{O}_N$の関係に符号化されていることを示すことにより、ウェーブレット理論の完全な代数的枠組みを提供する。