[論文レビュー] A connection with skew symmetric torsion and Kähler curvature tensor on quasi-Kähler manifolds with Norden metric

Dimitar Mekerov|ArXiv.org|Apr 25, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Norden計量を備えた擬ケーラー多様体上における歪対称ねじれを持つ自然接続について検討し、その曲率テンソルがケーラー的であるための必要十分条件を導出する。主な貢献は、スカラー曲率の恒等式を用いた等方的ケーラー多様体の特徴付けであり、接続の曲率がケーラー的であるための必要十分条件が、導出されたテンソル $ H $ がケーラー的であることと同値であることを示し、リーマン接続と修正接続のスカラー曲率の明示的関係を確立する。特に、恒等式 $\tau' + 3\tau'^* = \tau + 3\tau^*$ が成り立つ。

ABSTRACT

There is considered a connection with skew symmetric torsion on a quasi-Kähler manifold with Norden metric. Some necessary and sufficient conditions are derived for the corresponding curvature tensor to be Kählerian. In the case when this tensor is Kählerian, some relations are obtained between its scalar curvature and the scalar curvature of other curvature tensors. Conditions are given for the considered manifolds to be isotropic-Kähler.

研究の動機と目的

• Norden計量を備えた擬ケーラー多様体上における歪対称ねじれを持つ自然接続を分析すること。
• この接続の曲率テンソルがケーラー的であるための必要十分条件を特定すること。
• リーマン接続、修正接続、および補助的な曲率に類するテンソルのスカラー曲率の明示的関係を導出すること。
• 修正接続の曲率を含むスカラー曲率の恒等式を用いて、等方的ケーラー多様体を特徴付けること。

提案手法

• Norden計量を備えた $\mathcal{W}_3$-多様体（擬ケーラー的）上に、歪対称ねじれを持つ自然接続 $\nabla'$ を導入し、$\nabla'_x y = \nabla_x y + Q(x,y)$ で定義する。ここで $Q$ は $\nabla J$ から構成される。
• ねじれテンソル $T(x,y) = 2Q(x,y)$ を定義し、$Q(y,z,w)$ をNijenhuisテンソル $F$ を用いて $Q(y,z,w) = -\frac{1}{4}\mathfrak{S}_{y,z,w} F(y,z,Jw)$ で表現する。
• 接続 $\nabla'$ の曲率テンソル $R'$ を導出し、条件 $R'(x,y,Jz,Jw) = -R'(x,y,z,w)$ を用いてそのケーラー性を分析する。
• 補助的テンソル $H$ を $H(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + R(Jx,Jy,z,w) + R(x,y,Jz,Jw) + R(Jx,Jy,Jz,Jw)$ で定義し、$R'$ がケーラー的であることと $H$ がケーラー的であることの同値性を証明する。
• スカラー曲率 $\tau$, $\tau^*$, $\tau'$, $\tau'^*$, $\tau(P)$, $\tau^*(P)$, $\tau(H)$ を計算し、$\tau' = \tau + \frac{3}{8}\|\nabla J\|^2$ などの恒等式を導出する。
• 4次元多様体の場合、曲率テンソル $R$ を射影テンソル $\pi_1, \pi_2, \pi_3$ とテンソル $P$ を用いて表現し、$\tau$, $\tau^*$, $\tau(H)$ を含む曲率分解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Norden計量を備えた擬ケーラー多様体上における歪対称ねじれを持つ接続の曲率テンソルがケーラー的であるための条件は何か？
• RQ2 リーマン接続、修正接続 $\nabla'$、および補助的な曲率に類するテンソルのスカラー曲率の関係は何か？
• RQ3 曲率テンソル $R'$ のケーラー性と、リーマン曲率テンソル $R$ を用いて定義されたテンソル $H$ の間の正確な関係は何か？
• RQ4 どのような条件下で $\mathcal{W}_3$-多様体が等方的ケーラー的であり、その条件はスカラー曲率の恒等式にどのように反映されるか？
• RQ5 4次元の場合、$R'$ がケーラー的であるとき、曲率テンソル $R$ はどのように分解されるか？

主な発見

• 修正接続 $\nabla'$ の曲率テンソル $R'$ がケーラー的であることと、テンソル $H$ が $H(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + R(Jx,Jy,z,w) + R(x,y,Jz,Jw) + R(Jx,Jy,Jz,Jw)$ で定義されるとき、$H$ がケーラー的であることとは同値である。
• 修正接続のスカラー曲率は $\tau' = \tau + \frac{3}{8}\|\nabla J\|^2$ を満たす。ここで $\|\nabla J\|^2$ は $\nabla J$ の二乗ノルムである。
• 関連スカラー曲率は $\tau'^* = \tau^* - \frac{1}{8}\|\nabla J\|^2$ であり、恒等式 $\tau' + 3\tau'^* = \tau + 3\tau^*$ が成り立つ。
• 補助テンソル $P$ のスカラー曲率は $\tau(P) = \frac{9}{8}\|\nabla J\|^2$ であり、$\tau^*(P) = -\frac{3}{8}\|\nabla J\|^2$ である。ここで $\|\nabla J\|^2$ は $\nabla J$ の二乗ノルムである。
• テンソル $H$ のスカラー曲率と関連スカラー曲率は等しく、$\tau(H) = \tau^*(H) = 2\|\nabla J\|^2$ である。また、恒等式 $\tau' = \tau + \frac{3}{16}\tau(H)$ および $\tau'^* = \tau^* - \frac{1}{16}\tau(H)$ も成り立つ。
• 4次元の場合、曲率テンソルは $R = \frac{1}{128}\left\{(16\tau + \tau(H))(\pi_1 - \pi_2) + (16\tau^* - \tau(H))\pi_3\right\} - \frac{1}{3}P$ として完全に分解され、曲率分解が得られる。