[論文レビュー] A consistent dot product embedding for stochastic blockmodel graphs

Daniel L. Sussman, Minh Tang+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2011

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、平均二乗誤差基準の最小化によりノードをブロックに割り当てる、確率的ブロックモデルグラフの整合的なドット積埋め込み手法を提案する。このアプローチにより、有向および無向グラフの両方において、漸近的に無視できるほどの誤割当が実現され、ブロック数がネットワークサイズに従ってゆっくりと増加する場合でも、一貫したパrameter推定が可能になる。

ABSTRACT

We present a method to estimate block membership of nodes in a random graph generated by a stochastic blockmodel. We use an embedding procedure motivated by the random dot product graph model, a particular example of the latent position model. The embedded vectors are clustered through minimization of a mean square error/ criteria. We prove that this method is consistent for assigning nodes to blocks, as only a negligible number of nodes will be mis-assigned. We prove consistency of the method for directed and undirected graphs. The consistent block assignment makes possible consistent parameter estimation for a stochastic blockmodel. We extend the result for when the number of blocks grows slowly with the number of nodes. Our method is also computationally feasible even for very large graphs.

研究の動機と目的

• 確率的ブロックモデルグラフにおけるブロック所属の推定に計算的に実行可能な手法を開発すること。
• ネットワークサイズの増加に伴い誤分類を最小限に抑えることで、ノードのブロックへの一貫した割当を確保すること。
• ブロック数がノード数に従ってゆっくりと増加する状況や、有向グラフへの拡張を含めた手法の拡張。
• 信頼性の高いブロック割当を通じて、確率的ブロックモデルにおける一貫したパrameter推定を支援すること。

提案手法

• ノードベクトルを低次元空間に埋め込む基盤として、ランダムドット積グラフモデルを用いる。
• ノード埋め込みは、平均二乗誤差基準を最小化する行列因子分解問題を解くことで得られる。
• ブロック所属は、埋め込み空間上でk-meansに類似した最適化を用いて、埋め込みベクトルのクラスタリングにより割り当てる。
• 有向エッジ構造を考慮するため、ドット積定式を変更することで有向グラフへの拡張を実現する。
• 理論的整合性は、ネットワークサイズの増加に伴いノードが誤ったブロックに割り当てられる確率が0に収束することを証明することで確立される。
• 低ランク行列演算に依存しているため、非常に大きなグラフに対しても計算的に効率的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドット積埋め込みアプローチは、確率的ブロックモデルグラフにおいて一貫したブロック割当を達成できるか？
• RQ2 この手法は、有向および無向グラフの両方で一貫性を保つのか？
• RQ3 ブロック数がノード数に従ってゆっくりと増加する場合、この手法はどのように動作するか？
• RQ4 一貫したブロック割当は、確率的ブロックモデルにおける信頼性の高いパrameter推定を可能にするか？
• RQ5 この手法は大規模ネットワークにおいて計算的にスケーラブルか？

主な発見

• 提案された埋め込み手法は、ノードの誤割当割合がネットワークサイズの増加に伴い0に収束するという一貫したブロック割当を達成する。
• この手法は、有向および無向の両方の確率的ブロックモデルグラフで一貫性を保つ。
• ノード数に従ってゆっくりと増加するブロック数であっても、ブロック割当の一貫性が維持される。
• 一貫したブロック割当により、確率的ブロックモデルにおけるモデルパラメータの一致推定が可能になる。
• 効率的な行列因子分解と低ランク埋め込みに依存しているため、非常に大きなグラフに対しても計算的に実行可能である。
• 平均二乗誤差最小化基準により、埋め込みノードベクトルのブロックへの安定的かつ正確なクラスタリングが保証される。