[論文レビュー] A construction of 2-filtered bicolimits of categories

Eduardo J. Dubuc, Ross Street|arXiv (Cornell University)|May 11, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

本稿では2-フィルターな2カテゴリの概念を導入し、カテゴリ値の2ファンクターに対するバイコリムの明示的構成を提供する。カテゴリを自明な2カテゴリとみなした場合、それが2-フィルターであることとフィルターであることとは同値であり、この構成は標準的なフィルター列挙と同倉なカテゴリをもたらす。主な貢献は、2-フィルターなバイコリムがフィルター列挙の本質的性質に類似した性質を備えることを示したことである。これは最小限の公理集合に基づく。

ABSTRACT

We define the notion of 2-filtered 2-category and give an explicit construction of the bicolimit of a category valued 2-functor. A category considered as a trivial 2-category is 2-filtered if and only if it is a filtered category, and our construction yields a category equivalent to the category resulting from the usual construction of filtered colimits of categories. Weaker axioms suffice for this construction, and we call the corresponding notion pre 2-filtered 2-category. The full set of axioms is necessary to prove that 2-filtered bicolimits have the properties corresponding to the essential properties of filtered bicolimits. Kennison already considered filterness conditions on a 2-category under the name of bifiltered 2-category. It is easy to check that a bifiltered 2-category is 2-filtered, so our results apply to bifiltered 2-categories. Actually Kennison's notion is equivalent to ours, but the other direction of this equivalence is not entirely trivial.

研究の動機と目的

• 2-フィルターな2カテゴリを、フィルターなカテゴリの2カテゴリ的一般化として定義し、特徴づけること。
• カテゴリ値の2ファンクターに対するバイコリムの明示的構成を提供すること。
• 自明な2カテゴリに制限した場合、この構成が古典的なフィルター列挙と同倉なカテゴリをもたらすことを示すこと。
• 構成に必要な最小公理集合（前2-フィルターな2カテゴリ）を特定し、完全な2-フィルター条件と区別すること。
• 完全な公理集合が、2-フィルターなバイコリムがフィルター列挙に類似した本質的性質を満たすために必要不可欠であることを確立すること。

提案手法

• 2つの公理（F1：可逆な2セルを伴う射の対に対する共錐の存在、F2：2セルの整合性）により2カテゴリを前2-フィルターと定義する。
• 各対象A∈C、F(A)内の対象x、および整合性のある同型写像族αからなる三つ組(A, x, α)の同値類として、バイコリム圏LL(F)を構成する。
• 2カテゴリ的バージョンのフィルター列挙構成を用い、整合性データを可逆な2セルで符号化し、公理によって整合性を強制する。
• 構成が適切に定義されており、2カテゴリが自明（非自明な2セルを持たない）である場合、標準的なフィルター列挙と同倉な圏をもたらすことを証明する。
• バイコリムが有限極限を保存し、圏の同倉を誘導することを保証するため、完全な2-フィルター公理（特に強化された整合性条件FF1を含む）が不可欠であることを確立する。
• 2-フィルターな2カテゴリの概念と、ケニソンの以前の「バイフィルターな2カテゴリ」の概念を比較し、非自明だが基本的な議論により両者の同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下で、2ファンクターがCatに値をとるとき、そのバイコリムが存在し、望ましい性質を備えるか？
• RQ2 2ファンクターに対するバイコリムの構成は、圏論における古典的なフィルター列挙構成をどのように一般化するか？
• RQ3 2カテゴリ的設定においてバイコリムを構成するために必要な最小公理集合は何か？
• RQ4 2-フィルターな2カテゴリは、ケニソンの「バイフィルターな2カテゴリ」の概念とどのように関係するか？
• RQ5 2ファンクターのバイコリムが有限極限を保存する条件は何か？この性質は2カテゴリ的圏論においてどのような意味を持つのか？

主な発見

• 自明な2カテゴリとみなしたカテゴリは、2-フィルターであることとフィルターであることとは同値であり、この構成は標準的なフィルター列挙と同倉な圏をもたらす。
• LL(F)の構成はより弱い前2-フィルター公理のもとで有効であるが、2-フィルターなバイコリムがフィルター列挙に類似した本質的性質を備えるためには、完全な2-フィルター公理が必要不可欠である。
• 2ファンクターFが有限完備な圏と有限極限を保存する関手の2カテゴリに値をとるとき、LL(F)は有限極限を備える。
• 擬共錐関手λ_A: F(A) → LL(F)は有限極限を保存し、任意の圏Xに対して、LL(F)からXへの有限極限を保存する関手の圏と、FからXへの擬共錐の圏との間に同型を誘導する。
• 2-フィルターな2カテゴリの概念は、ケニソンのバイフィルターな2カテゴリの概念と同値であるが、この同値性の証明は非自明である。
• 構成は公理FF1（整合性のある射の族の整合性を保証する）に強く依存しており、この公理は得られる同倉が忠実かつ全射であるために不可欠である。